Seite - XIII - in Programming for Computations – Python - A Gentle Introduction to Numerical Simulations with Python

Contents xiii 4.3.4 AMagicFixof theNumericalMethod . . . . . . . . . . . . . 129 4.3.5 The2nd-OrderRunge-KuttaMethod(orHeun’sMethod) . 131 4.3.6 Software forSolvingODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.3.7 The4th-OrderRunge-KuttaMethod . . . . . . . . . . . . . . 138 4.3.8 MoreEffects:Damping,Nonlinearity,andExternalForces 141 4.3.9 IllustrationofLinearDamping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.10 IllustrationofLinearDampingwithSinusoidalExcitation . 146 4.3.11 Spring-MassSystemwithSlidingFriction . . . . . . . . . . . 147 4.3.12AfiniteDifferenceMethod;Undamped,LinearCase . . . . 149 4.3.13AFiniteDifferenceMethod;LinearDamping . . . . . . . . 151 4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5 SolvingPartialDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.1 FiniteDifferenceMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1.1 ReductionofaPDEtoaSystemofODEs . . . . . . . . . . . 164 5.1.2 Construction of a Test Problemwith KnownDiscrete Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.1.3 Implementation: ForwardEulerMethod . . . . . . . . . . . . 166 5.1.4 Application:HeatConduction inaRod . . . . . . . . . . . . 168 5.1.5 Vectorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.1.6 UsingOdespy toSolve theSystemofODEs . . . . . . . . . 173 5.1.7 ImplicitMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6 SolvingNonlinearAlgebraicEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.1 BruteForceMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.1.1 BruteForceRootFinding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.1.2 BruteForceOptimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.1.3 ModelProblemforAlgebraicEquations . . . . . . . . . . . . 190 6.2 Newton’sMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.2.1 Derivingand ImplementingNewton’sMethod . . . . . . . . 191 6.2.2 MakingaMoreEfficient andRobust Implementation . . . . 193 6.3 TheSecantMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 TheBisectionMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.5 RateofConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.6 SolvingMultipleNonlinearAlgebraicEquations . . . . . . . . . . . 203 6.6.1 AbstractNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.6.2 TaylorExpansions forMulti-VariableFunctions . . . . . . . 204 6.6.3 Newton’sMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.6.4 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 A GettingAccess toPython . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 A.1 RequiredSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 A.2 AnacondaandSpyder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2.1 SpyderonMac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.2.2 InstallationofAdditionalPackages . . . . . . . . . . . . . . . 211 A.3 HowtoWriteandRunaPythonProgram . . . . . . . . . . . . . . . 211