Seite - 30 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

4 ModellierungchromatischerSensoren ZurVereinfachungvon(4.1)kanndieAmplitudenpunktverwaschungsfunk- tiondurchdieBlendenöffnungsfunktionersetztwerden, indemderZusam- menhang hPSF,i(x,y)= ∞ −∞ PB(ξi,ζi)exp (−2πi λ a (ξix+ζiy) ) dξidζi (4.2) überdieFouriertransformationausgenutztwird[Kin96,S.11].Wiein4.1dar- gestelltbezeichnet adengeometrischenAbstandzwischenObjektundLin- se.DieZahlibezeichnetdieimaginäreEinheit.DieBlendenöffnungsfunktion PB(ξ,ζ)=circ ( ξ dB/2 , ζ dB/2 ) = { 1, fürξ2+ζ2≤(dB/2)2 0, sonst (4.3) gibtdieTransmissioninderξ,ζ-Ebeneanundbeschreibthiereinekreisrunde BlendemitDurchmesser dB [Stö93]. Werden(4.3)und(4.2) in(4.1)eingesetztundalsweitereAnnahmeeinOb- jekt r(x,y)=δ(x)δ(y)mit infinitesimalerAusdehnungbetrachtet, sokann der laterale Intensitätsabfall alsFunktioneinerScanbewegung (xS,yS)be- stimmtwerden.ImFalleeinesidealenPunktdetektorsK(xK,yK)=δ(xK)δ(yK) resultiertderaufeinsnormierte Intensitätsverlauf [Wil90a]: I(ν)= ( 2J1(ν) ν )4 , wobeidieRotationssymmetriederOptikausgenutztwerdenkannunddieop- tischen Koordinaten ν= √ t2+w2 t=2π λ xSsin(αNA) w=2π λ ySsin(αNA) (4.4) eingeführtwerden.DiesenormiertenKoordinatenermöglicheneine von derWellenlängeunddernumerischeAperturNA=sin(αNA)unabhängige Betrachtungundwerden inAbbildung4.2ausgenutzt.DieFunktion J1(v) bezeichneteineBessel-FunktionersterOrdnungundersterArt. 30