Seite - 54 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

4 ModellierungchromatischerSensoren modelliertenPhotonenrauschen,beidemdieabsoluteAnzahldetektierter Photonen ausschlaggebend ist. DieIntensitätsnormierungdesKameramodells(4.27)entsprichteiner linea- renTransformationdesZufallsvektorsGT=GK/||gμ||2.DerTerm ||gμ||2 stellt dabeieinennichtzufälligenSkalardar,wodurchsichderErwartungswertvek- torE{GT}=gμ/||gμ||2=gCergibt.GemäßVar{aX+b}=a2Var{X}zurlinearen TransformationeinerZufallsvariablefolgtdietransformierteKovarianzmatrix ΣT ( gμ )= ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝ σ2g(gμ,1) ||gμ||22 ··· 0 ... ... ... 0 ··· σ 2 g(gμ,n) ||gμ||22 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠. (4.28) Folglich steht die transformierte Varianz Var { GT,i }=σ2g ( gμ,i ) ||gμ||22 =σ 2 d+gμ,ik ||gμ||22 ≈ gμ,ik||gμ||22 = r r2 g′ μ,ik( g′μ,1 )2+...+(g′μ,n)2∝ 1 r (4.29) infunktionalerAbhängigkeitvonderOberflächenreflektanzr.Dabeibezeich- netg′μ=gμ/r dasKameramodellohneVorfaktor r.BeidieserBetrachtung wurdederVarianzanteildesDunkelrauschensσ2d approximativvernachläs- sigt. ImVergleichmitdemPhotonenrauschenistdieserAnteilgering,wenn hohe Intensitätenbetrachtetwerden(vgl.Abbildung4.10). DieIntensitätsnormierung(4.27)erfüllt ihrenZwecknurfürdasKameramo- dell, fürdasRauschmodellbleibteineAbhängigkeit vonderOberflächen- reflektanzbestehen.UmtrotzdemmitdemnormiertenKameramodellar- beitenzukönnen, isteineWorst-Case-Annahmenotwendig.DieseSituati- onistdurcheineminimal tolerierbareLichtmengecharakterisiert,welche durchr(x)=rminbestimmtist.DasRauschmodellbeschreibtsomitdenun- günstigstenFall,d.h.alleSituationenmithöherenReflektanzenr(x)≥rmin 54 führen entsprechend zuweniger Rauschen alsmodelliert. Entsprechend (4.28) resultiert die Kovarianzmatrix