Seite - 55 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

4.2 Signalmodell fürKamerasensoren ΣT ( gμ(rmin) )= ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎝ σ2g(gμ,1(rmin)) ||gμ(rmin)||22 ··· 0 ... ... ... 0 ··· σ 2 g(gμ,n(rmin)) ||gμ(rmin)||22 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎠. (4.30) DieWahrscheinlichkeitsdichtefunktiondestransformiertenZufallsvektors GT=GK/||gμ||2 ergibtsich,wenndertransformierteErwartungswertE{GT}= gμ/||gμ||2unddieKovarianzmatrix (4.30) in(4.26)eingesetztwerden. 4.2.5 Anmerkungen Die lineareModellierungderVarianzalsFunktiondeserwarteten Intensi- tätswertes (4.25) ist für die BetrachtungderCramér-Rao-Ungleichung in Abschnitt 6.3.1hinderlich. AusdiesemGrundwird fürdieseBetrachtung eineinfacheresModelleingeführt,welchesalleKamerakanälemitderselben konstantenVarianzσ2beschreibt. IndiesemFallkanndieKovarianzmatrix Σ=σ2I (4.31) mithilfe derEinheitsmatrix Idargestelltwerden. WirdstattdiesereinfachenKovarianzmatrix(4.31)dietransformierteKovari- anzmatrix(4.30)verwendet,dannhabendieabsolutenFiltertransmissionen f(λ,α,φ,p)einenEinflussaufdasKamerarauschen.EinehöhereFiltertrans- mission f(λ,α,φ,p)korrespondiert indiesemFallmiteinergeringerennor- miertenVarianz,damehrPhotoneneingesammeltwerden. AbschließendsolldienichtlineareAbhängigkeitderbeobachtetenIntensi- tätswertegvonderMessgrößehbetrachtetwerden.Durchdaschromatisch konfokaleMessprinzip ist dasbeobachtete Lichtspektrum s(λ,h) vonder Objekthöheabhängig. ImKameramodell (4.23),welchesdieerwartetenIn- tensitätswertegμ(h)beschreibt, wirdüberdiesesLichtspektrumintegriert. InAbhängigkeitderWellenlängewird s(λ,h)dabeidurchdie Filtertransmis sionen f(λ,α,φ,p)gewichtet,welcheeinenichtlineareAbhängigkeit vonder Wellenlängebesitzen.AusdiesemGrundbesteht keine lineareAbhängig keitderBeobachtunggμ(h)vonderMessgrößeh.DieseEi 55 genschaft spielt bei derOptimierungvonFiltersätzeneinewichtigeRolle undmuss be rücksichtigt werden. - - -