Seite - 74 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6 OptimierungvonFiltersätzen derRechenaufwandzuhoch.Umdiesenzureduzieren,wirdabschließend eineApproximationdesBayesianExperimentalDesignvorgestellt,welche auf derBhattacharyya-Ungleichung aufbaut. 6.3.1 Cramér-Rao-Ungleichung DieCramér-Rao-UngleichungstellteineuntereSchrankefürdieVarianz(6.3) dar.DieIdeebeimEinsatzdieserunterenSchrankefürdieSensoroptimie- rung ist, dassDesignparameter, diedieseSchrankeminimieren, auchdie tatsächlicheMessunsicherheitminimieren.DieseAussagekanndadurchge- rechtfertigtwerden,dassSchätzfunktionenexistieren,derenSchätzvarianz dieuntereSchrankederCramér-Rao-UngleichunguntergewissenVorausset- zungenerreichen[vdB07,S.105].FürdenCCT-Sensor ist jedochaufgrund desnichtlinearenSensormodells keineSchätzfunktionbekannt,diediese Eigenschaft erfüllt.Nichtsdestotrotzkannempirischgezeigtwerden,dass Optimierungen,diedieCramér-Rao-Schrankeverringern,auchdiewahre Messunsicherheitreduzieren(vgl.Abschnitt7.2).EineweitereBesonderheit derCramér-Rao-Ungleichung ist ihre geschlosseneanalytischeForm,die eine schnelle Auswertung erlaubt. ImFolgendenwirddieCramér-Rao-Ungleichunghergeleitetundanschlie- ßenddiskutiert.GegebenseieinevektorielleZufallsvariableGK∼p(g|h)mit∫ p(g|h)dg=1. (6.4) DesWeiterensollderFall hˆ(g) eineserwartungstreuenSchätzers fürhbe- trachtetwerden1.UnterAusnutzungderErwartungstreueE{hˆ(GK)}=hver- 1 DieCramér-Rao-UngleichungkannauchfürdenFalleinesnichterwartungstreuenSchätzers hergeleitetwerden[vdB07,S.72]. 74 schwindetdieerwarteteDifferenzderSchätzungundderzugrundeliegenden Messgröße h. Es gilt somit E { hˆ(GK)−h◦ ∣∣h◦}=∫(hˆ(g(h◦,r,p))−h◦)p(g|h◦)dg=0. (6.5)