Seite - 75 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6.3 OptimaleFiltersätzeundganzheitlicheEntwurfsprinzipien DurchDifferenzierung von (6.5) unter Anwendungder Produktregel und inderAnnahme, dass Integrationbezüglich gundDifferentiationbezüg- lich h vertauschbar sind, folgt ∂ ∂h ∣∣∣∣ h◦ ∫( hˆ(g)−h◦)p(g|h◦)dg = ∫( hˆ(g)−h◦) ∂p(g|h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ dg− ∫ p(g|h◦)dg=0. (6.6) UnterAusnutzungvon (6.4)unddesZusammenhangs ∂p(g|h) ∂h =∂exp ( ln(p(g|h))) ∂h =p(g|h)∂ln(p(g|h)) ∂h kann (6.6) vereinfachtundumgeschriebenwerden: 1= ∫( hˆ(g)−h◦)p(g|h◦) ∂ln(p(g|h)) ∂h ∣∣∣∣ h◦ dg = ∫(( hˆ(g)−h◦)√p(g|h◦))(√p(g|h◦) ∂ln(p(g|h)) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) dg. (6.7) Wirddas so erhalteneZwischenergebnis (6.7) in quadrierter Form indie Cauchy-Schwarzsche-Ungleichungeingesetzt, resultiert ∫( hˆ(g)−h◦)2p(g|h◦)dg︸ ︷︷ ︸ Var{.} ∫( ∂ln(p(g|h)) ∂h ∣∣∣∣ h◦ )2 p(g|h◦)dg︸ ︷︷ ︸ :=Fh◦ ≥1, (6.8) wobei der erste TermderMessunsicherheit undder zweite Termdie so- genannteFisher-Informationbeschreibt.DurchUmstellungergibtsichdie Cramér-Rao-Ungleichung Varh◦ { hˆ(GK) }≥ 1 Fh◦ , (6.9) 75 wobei Fh◦= ∫( ∂ln ( p(g|h)) ∂h ∣∣∣∣ h◦ )2 ︸ ︷︷ ︸ (sh◦) 2 p(g|h◦)dg=E{(sh◦)2} (6.10)