Seite - 77 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6.3 OptimaleFiltersätzeundganzheitlicheEntwurfsprinzipien Dabeiwurdeausgenutzt,dassdieKovarianzmatrixsymmetrischist.DieFis- her-Informationergibt sichgemäß(6.10)desErwartungswerts Fh◦=E { (sh◦) 2} =E {( ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) Σ−1d(h)d(h) Σ−1 ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ } = ( ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) Σ−1E { d(h)d(h) } Σ−1 ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ = ( ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) Σ−1ΣΣ−1 ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ = ( ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) Σ−1 ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ . (6.12) FürdenhierbetrachtetenFallΣ=σ2Ikann(6.12)weitervereinfachtwerden, indem Fh◦= 1 σ2 ( ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ ) ∂gμ(h) ∂h ∣∣∣∣ h◦ = 1 σ2 ∣∣∣∣ ∣∣∣∣∂gμ(h)∂h ∣∣∣∣ h◦ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣2 2 (6.13) alseuklidischeNormderAbleitungdesKameramodellsnachderMessgröße geschrieben wird. AusdiesemErgebnis folgtmit (6.9)dasOptimierungsfunktional JCR(p,h ◦)= σ 2∣∣∣∣∣∣ ∂gμ(h)∂h ∣∣∣h◦ ∣∣∣∣∣∣2 2 . (6.14) 77 DieseDarstellungerlaubt einenVergleichmitdeminAbschnitt 6.2.1 ein- geführtenSensorempfindlichkeitsmaß(6.2),da JCR∝1/J2Egilt.DerZusam- menhang1/x2 stellt für x∈R>0 einemonotoneFunktiondar,womit die LösungenderzugehörigenOptimierungsproblemeübereinstimmen.Damit istauchersichtlich,dassnurdasTeilproblemdesBeobachtungsrauschens berücksichtigtwirdundderEinflussderEindeutigkeitsproblematikdurch dieCramér-Rao-Ungleichungunberücksichtigtbleibt [Tap14a]. ZweiAnsätzezurLösungdiesesProblemswurdenuntersucht.Zumeinen kanndasOptimierungsfunktional(6.14)umeinenzusätzlichenTermerwei- tertwerden,welcher nur die Eindeutigkeitsproblematik bewertet.Dieser