Seite - 80 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6 OptimierungvonFiltersätzen E { u(p ) } =max p ∫∫∫( h−hˆ(g))2p(g|h,r,p)p(h)p(r)dgdhdr =max p ∫∫( h−hˆ(g))2p(g|h,rmin,p)p(h)dgdh. Die Integrationüberh birgt jedochdieGefahr,dass zumVorteil einerhö- herenNützlichkeit füreinigewenigeArbeitspunkteh◦einedeutlichhöhere Messunsicherheitakzeptiertwird.MussdieseineinemDatenblattspezifiziert werden,somussfüreineseriöseAngabedieMessunsicherheitamungüns- tigstenArbeitspunktermitteltwerden.GemäßdieserArgumentationistein SensordurchdieMessunsicherheitanseinemschlechtestenArbeitspunkt charakterisiert,wasdurcheineMinimax-Optimierung p =argmin p max h◦ ∫( h◦−hˆ(g))2p(g|h◦,rmin,p)dg (6.16) berücksichtigtwerdenkann. FürdenFall einer erwartungstreuenSchätz- funktion hˆ(g)entsprichtdasIntegralderSchätzvarianz,wiesieauchfürdie HerleitungderCramér-Rao-Ungleichungeingeführtwurde(vgl. (6.8)).Diese ÜbereinstimmungwurdeerreichtdurchdiequadratischeNutzenfunktion unddieAnnahmeeinernichtinformativenA-priori-Wahrscheinlichkeitsdich- teverteilungp(h).FürdenFalleinernichterwartungstreuenSchätzfunktion hˆ(g)geht indiequadratischeNutzenfunktionauchdersogenannteBias,als Offset vomErwartungswert,mit ein. 80 Wiebereitsangesprochen,musszurOptimierungvon(6.16)einmehrdimen- sionalesIntegral ∫ (.)dggelöstwerden,wobeidieDimensiondurchdieAnzahl der Filter proFiltersatz gegeben ist. Gemäß [vT11] sindprinzipiell unter- schiedlicheVerfahrenwiez.B.Monte-Carlo-oderGauß-Hermite-Integration geeignet,solcheIntegraleapproximativzulösen.Besondersgutfunktionie- rendieseVerfahren,wennGlattheitsannahmenbezüglichdesIntegranden erfülltsind.Z.B.wäredieApproximationmittelsGauß-Hermite-Quadraturre- gel fehlerfrei,wennsichdieFunktionu(g)=(h−hˆ(g))2miteinemPolynom gewissenGradesdarstellenließe.Wirdfür hˆ(g)eineML-oderMAP-Schätz- funktiongewählt,danntretenaufgrunddesbeinhaltetenMaximumoperators Unstetigkeitenauf.DieseführenzuSprungstellenimSchätzergebnis,wenn