Seite - 86 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6 OptimierungvonFiltersätzen 86 lung,wiegroßderKlassifikationsfehlerP(Fehler) ist,wennberücksichtigt wird,dassdieBeobachtungengemäßp(g|hi)verteiltsind.FürdenZweiklas- senfall (ZKF),beidemnurdieKlassenh1undh2 existieren,gilt [Dud01] P(FehlerZKF)=P(g∈R2|h1)+P(g∈R1,h2) =1 2 ( ∫ R2 p(g|h1)dg+ ∫ R1 p(g|h2)dg ) , (6.19) wobeibereitsderSpezialfallbetrachtetwurde,dassbeideObjekthöhen(Klas- sen)h1undh2mitgleicherA-priori-Wahrscheinlichkeitauftreten.Beieinem VergleichderIntegraleaus(6.19)und(6.18)fälltauf,dassdasErgebnisjeweils alseineFehlerwahrscheinlichkeit interpretiertwerdenkann.Esexistiertaber aucheingroßerUnterschiedzwischendemZKFin(6.19)unddemMehrklas- senfall (MKF)in(6.18),beidemmObjekthöhenbetrachtetwerden.Dieser UnterschiedhatgroßeAuswirkungenbezüglichderIntegrationsgebiete,wel- che inAbbildung6.6 gegenübergestellt sind. Anstatt,wieimMKFnotwendig,nurüberRegionRj zuintegrieren(rotschraf- fiert),wirdimZKFübereinenkomplettenHalbraumintegriert (grünschraf- fiert). Obwohl offensichtlich ist, dass an dieser Stelle ein (großer) Fehler gemachtwird,wird imFolgendendie IntegrationdesZKFinkombinatori- scherWeise auf denMKFangewandt.DieBehandlungdesMKFals viele ZweiklassenfällehateineüberschätzteFehlerwahrscheinlichkeitzurFolge. AnstattüberRj wirdübereinegrößereRegion integriert,welchesRj voll- ständig enthält.DerGrund fürdiesesVorgehen ist, dass für die Integrale desZKFseineApproximationmittelsderBhattacharyya-Ungleichungexis- tiert.DiesestellteinegeschlosseneLösungderChernoff-Ungleichungdar DazuwirddasSchätzproblemalsKlassifikationsproblembetrachtet. Jede diskreteObjekthöhehi entsprichtdabeieinerKlasseundRi beschreibtdie zugehörigeEntscheidungsregion.FüralleBeobachtungeng∈Ri folgtdie Klassifikation hˆ(g)=hi. InteressantbeidieserBetrachtungistdieFragestel- undbeschreibteineobereSchrankefürdieFehlerwahrscheinlichkeit (6.19).