Seite - 87 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6.3 OptimaleFiltersätzeundganzheitlicheEntwurfsprinzipien 87 Dadurch ist folgendeAbschätzungmöglich∫ Rj p(g|hi)dg<1 2 P(FehlerZKF) ≤1 4 exp (−κ(gi,gj,Σi,Σj)),mit κ ( gi,gj,Σi,Σj ) :=1 8 ( gj−gi ) (Σi+Σj 2 )−1( gj−gi ) +1 2 ln ⎛ ⎝ ∣∣∣Σi+Σj2 ∣∣∣√|Σi||Σj| ⎞ ⎠ , wobei letzteredieBhattacharyya-UngleichungmitdemVorfaktor1/2dar- stellt [Dud01].DerVorfaktorberücksichtigt,dass imZKFbeideFehler (g∈ R2|h1)und(g∈R1|h2)betrachtetwerdenundhierstattdessennurderFehler (g∈Rj|hi)vonInteresseist.DieVariablegi :=gC(hi,rmin,p)ermöglichteine kompaktereSchreibweiseundbezeichnetdasintensitätsnormierteKamera- modell (4.27);analogverweistΣi aufKovarianz(4.28).Esseiangemerkt,dass dieBhattacharyya-Schrankenur fürdenFall einernormalverteilten Wahr scheinlichkeitsdichtefunktionp(g|hi)gültig ist,washiererfüllt ist (vgl.(4.26)). AnstattdieBhattacharyya-UngleichunginihrerursprünglichenFormzuver- wenden,werdenzweiAnpassungenvorgenommen.Zumeinenwirdausge- nutzt, dass m∑ j=1 ∫ Rj p(g|hi,rmin,p)dg=1 gilt,daübereineWahrscheinlichkeitsdichteintegriertwird.UmdieseEigen- schaft zuberücksichtigenwird inderApproximation JBhat(p)= m∑ j=1 ( hi−hj )2 exp(−κ(gi,gj,Σi,Σj))∑m l=1exp (−κ(gi,gl,Σi,Σl)) (6.20) einNormierungstermimNennerhinzugefügt.DiezweiteAnpassunghinge- genistheuristischmotiviert.Untersuchungenhabenergeben,dassbeider -