Seite - 88 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6 OptimierungvonFiltersätzen 88 Anwendungunterschiedenwerdenmuss,obhi undhj benachbarteObjekt- größenbezeichnenodernicht.Dabeihatsichgezeigt,dasseinebessereAp- proximationerreichtwird,wenndiemodelliertenVarianzenbeinichtbenach- bartenObjekthöhenverdoppeltwerden.DazuwirddieGewichtungsfunktion w(hi,hj)= 2 1+exp(−1a ·|hi−hj|) (6.21) eingeführt,welchedieKovarianzmatrixw(hi,hj)Σi jenachAbstand |hi−hj| gewichtet.DerParameterahängtdabeivombetrachtetenProblemabund muss entsprechendgeeignet gewähltwerden. DasZiel,welchesdabeiverfolgtwird,entsprichteinerBalancierungderbei- denTeilproblemederOptimierung. InAbschnitt6.2wurdendazuzweiQuel- lenfürMessunsicherheitvorgestellt:zumeinendasTeilproblemdesBeob- achtungsrauschens,welchesvorwiegendbeibenachbartenObjekthöhenzu beachtenist,zumanderendasEindeutigkeitsproblem,welchesnurbeiweit auseinanderliegendenObjekthöhenauftritt.WirddieGewichtungsfunktion (6.21) indasFunktional(6.20)eingesetzt, resultiertdieangestrebte Approximation JBayes(p)≈ m∑ j=1 ( hi−hj )2 exp−κ′(gi,gj,Σi,Σj,hi,hj)∑m l=1exp−κ′(gi,gl,Σi,Σl,hi,hl) ,mit (6.22) κ′ ( gi,gj,Σi,Σj,hi,hj ) := 1 8 ( gj−gi ) (w(hi,hj)Σi+Σj 2 )−1( gj−gi )+1 2 ln ⎛ ⎝ ∣∣∣Σi+Σj2 ∣∣∣√|Σi||Σj| ⎞ ⎠ ingeschlossenerForm.DieEignungdieserApproximationwird imfolgen- denKapitel 7 empirischuntersucht, indemdiesenumerischenLösungen mittelsMonte-Carlo-Integrationgegenübergestelltwird(vgl.Abbildung7.10 und7.17).MitBlickaufdieWahlder Integrationsgrenzen,wiesie inAbbil- dung6.6inrotundgrüngegenübergestelltwurden,handeltessichumeine grobeApproximationdesursprünglichenFunktionals.Essei jedochschon vorweggenommen,dasssichdieseApproximationerstaunlichgut fürdie Optimierung von Filtersätzen eignet.