Seite - 49 - in Entwicklung und Anwendung explizit korrelierter Wellenfunktionsmodelle

4.4. Gradient fu¨rAnsatz 3 dienotwendigenBeitra¨ge aufzeigt: E [x] ∆F12 ← ∑ ij ∑ kl d fg klij〈kl|f12g12|ij〉 [x]+ ∑ klmn d f2r2 klmn〈kl|f 2 12r 2 12|mn〉 [x] + ∑ kl ∑ q′′I d f klq′′I〈kl|f12|q ′′I〉[x]+ ∑ kl ∑ pq d f klpq〈kl|f12|pq〉 [x] + ∑ ij ∑ q′′I d g ijq′′I〈q ′′I|g12|ij〉 [x]+ ∑ ij ∑ pq d g ijpq〈pq|g12|ij〉 [x] + ∑ mn ∑ q′′I dtmnq′′I〈q ′′I|t12|mn〉 [x]+ ∑ mn ∑ pq dtmnpq〈pq|t12|mn〉 [x] . (4.78) Dabei zeigen die hochgestellten Indizes an, mit welchen Integraltypen kontrahiert wird: d fg kl,ij = 2d kl ij , (4.79) d f2r2 kl,mn = e kl mn , (4.80) d f kl,q′′I = −4 ∑ ij dklij 〈q ′′I|g12|ij〉− ∑ mn (eklmn+e mn kl )〈q ′′I|t12|mn〉 , (4.81) d f kl,pq = −2 ∑ ij dklij 〈pq|g12|ij〉− 1 2 ∑ mn (eklmn+e mn kl )〈pq|t12|mn〉 , (4.82) d g ij,q′′I = −4 ∑ kl dklij 〈q ′′I|f12|kl〉 , (4.83) d g ij,pq = −2 ∑ kl dklij 〈pq|f12|kl〉 , (4.84) dtmn,q′′I = − ∑ kl (eklmn+e mn kl )〈kl|f12|q ′′I〉 , (4.85) dtmn,pq = − 1 2 ∑ kl (eklmn+e mn kl )〈kl|f12|pq〉 . (4.86) Allebeno¨tigten4-Index-IntegralewerdennachdemrobustenDensity-Fittingberech- net(sieheAnhang). ImRahmenderGradientenwerdendieinGl. (4.78)notwendigen abgeleitetenIntegrale jedochnichtexplizitberechnet,vielmehrwerdenalleeinzelnen Beitra¨ge direktmit entsprechendenDichten kontrahiert. ImFolgenden soll gezeigt werden,welcheBeitra¨gezuAbleitungenvon2-und3-Index-IntegralenimEinzelnen beno¨tigtwerdenundwiedie jeweiligenKontraktionsmatrizen aussehen. 49