Seite - 6 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

6 Einleitung. So istw=x2 +y2 +2xyi keine Funktion vonx+ iy. Denn es ist ∂w ∂x = 2(x+ iy) ∂w ∂y = 2(y+ ix) i ∂w ∂x = 2(−y+ ix), also nicht gleich 2(y+ ix). Hingegen istw=x2−y2 +2ixy eine Funktion vonx+ iy, denn es ist ∂w ∂x = 2(x+ iy) ∂w ∂y = 2(−y+ ix) i ∂w ∂x = 2(−y+ ix) = ∂w ∂y , in der That ist w= (x+ iy)2 = z2 dw dz = 2z= 2(x+ iy) = ∂w ∂x . Die Bedingung i∂w∂x = ∂w ∂y ist also nothwendig und hinreichend dafu¨r, dass die Funktionw von x und y eine Funktion von x+ iy ist. Wir sehen also, dassdieFunktioneneineskomplexenArgumentesspezielleFunktionenzweier reeller Variablen (x,y) sind. Ist nunw= f(z) eine Funktion der komplexen Variablen z=x+ iy, so ist auch z=ϕ(w) eine Funktion der komplexen Variablenw=u+ iv, wou und v reelle Gro¨ssen sind. Denn da dwdz vondz unabha¨ngig ist, wohl aber dw von dz abha¨ngen muss, so ist auch dzdw von dw unabha¨ngig, d. h. z ist eine Funktion des komplexen Argumentesw=u+ iv. Mit anderen Worten: jede Funktionw von z=x+iy kann in die Formw=u+iv gebracht werden, in deruund v reelle Funktionen vonx und y sind. Aus der Bedingung i∂w∂x = ∂w ∂y folgt nun i ( ∂u ∂x + i ∂v ∂x ) = ∂u ∂y + i ∂v ∂y ,