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6 Einleitung.
So istw=x2 +y2 +2xyi keine Funktion vonx+ iy. Denn es ist
∂w
∂x = 2(x+ iy)
∂w
∂y = 2(y+ ix)
i ∂w
∂x = 2(−y+ ix),
also nicht gleich 2(y+ ix).
Hingegen istw=x2−y2 +2ixy eine Funktion vonx+ iy, denn es ist
∂w
∂x = 2(x+ iy)
∂w
∂y = 2(−y+ ix)
i ∂w
∂x = 2(−y+ ix) = ∂w
∂y ,
in der That ist
w= (x+ iy)2 = z2
dw
dz = 2z= 2(x+ iy) = ∂w
∂x .
Die Bedingung i∂w∂x = ∂w
∂y ist also nothwendig und hinreichend dafu¨r, dass
die Funktionw von x und y eine Funktion von x+ iy ist. Wir sehen also,
dassdieFunktioneneineskomplexenArgumentesspezielleFunktionenzweier
reeller Variablen (x,y) sind.
Ist nunw= f(z) eine Funktion der komplexen Variablen z=x+ iy, so
ist auch z=Ï•(w) eine Funktion der komplexen Variablenw=u+ iv, wou
und v reelle Gro¨ssen sind. Denn da dwdz vondz unabha¨ngig ist, wohl aber dw
von dz abha¨ngen muss, so ist auch dzdw von dw unabha¨ngig, d. h. z ist eine
Funktion des komplexen Argumentesw=u+ iv. Mit anderen Worten: jede
Funktionw von z=x+iy kann in die Formw=u+iv gebracht werden, in
deruund v reelle Funktionen vonx und y sind.
Aus der Bedingung i∂w∂x = ∂w
∂y folgt nun
i (
∂u
∂x + i ∂v
∂x )
= ∂u
∂y + i ∂v
∂y ,
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher