Seite - 7 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

7 oder∗) ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y =−∂v ∂x und hieraus folgt ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0, ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2 = 0. Von der Differentialgleichung ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, welcher der reelle Theil der Funktion w = u+ iv von z = x+ iy genu¨gt, ausgehend hat Riemann, (1851) in seiner Dissertation, die Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen begru¨ndet. 3. Wenn man w = f(z) = u+ iv setzt und die reellen Gro¨ssen u, v als rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in einer Ebenew deutet, so wird jedem Punkte z=x+iy der z-Ebene im Allgemeinen ein bestimmter Punkt w=f(z) =u+iv in derw-Ebene entsprechen. Die z-Ebene wird also durch w=f(z) auf diew-Ebene in bestimmter Weise abgebildet. Wir wollen diese Art Abbildung na¨her betrachten. Es mo¨ge dem Punkte z der z-Ebene der Punktw derw-Ebene vermo¨gew= f(z) = u+ iv entsprechen. Dann wird einerunendlichkleinenAenderungdesz imAllgemeineneineunendlichkleine Aenderung desw entsprechen, d. h. den Punkten z′z′′, die dem Punkte z unendlich nahe sind, werden zwei Punktew′w′′ entsprechen, die dem Punkte w unendlich nahe sind. Nun ist dw dz = w′−w z′−z = w′′−w z′′−z , da dwdz von der Richtung der Aenderung des z unabha¨ngig ist. Ist nun dw dz weder null noch unendlich, so folgt aus w′−w z′−z = w′′−w z′′−z w′−w w′′−w= z′−z z′′−z ∗) Ist na¨mlich P+ iQ= 0 und P undQ reell, so muss P = 0,Q= 0 sein, denn aus P= iQ folgtP2+Q2= 0, was bei reellemP undQnur durchP= 0,Q= 0 erfu¨llbar ist. Ist also p+ iq=p′+ iq′, so muss p=p′,q= q′ sein.