Seite - 12 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

12 Einleitung. Fig. 7. Wir dru¨cken das Doppelverha¨ltnis durch die Modu- len und die Amplitude aus. Es ist z−z2 z−z3 = z2z z3z eiϕ, z1−z2 z1−z3 = z2z1 z3z1 eiϕ1, wobeiϕ undϕ1 die Winkel z3zz2 und z3z1z2 im Sinne derPfeile (Fig. 7) genommensind, alsodemselbenSinne nach. Es ist also, wenn analog fu¨r w3ww2 =ψ, w3w2w1 =ψ1 gesetzt wird, w2w w3w · w3w1 w2w1 ei(ψ−ψ1) = z2z z3z · z3z1 z2z1 ei(ϕ−ϕ1). Setzen wir nun voraus, dass die vier Punkte z, z1, z2, z3 auf einem Kreise liegen, so wirdϕ=ϕ1 d. h. das Doppelverha¨ltnis z−z2z−z3 = r, wo r eine reelle Gro¨sse ist. Umgekehrt: ist das Doppelverha¨ltnis von vier Punkten reell, so liegen diese auf einem Kreise. Daher liegen die vier Punktew,w1,w2,w3, welche den vier Punkten z, z1, z2, z3 eines Kreises entsprechen, selbst auf einem Kreise, wie auch daraus folgt, dass ausϕ=ϕ1 auchψ=ψ1 sich ergiebt. Durchla¨uft der Punkt z den KreisK, welcher durch die drei Punkte z1, z2, z3 bestimmt ist, so durchla¨uftw den KreisK ′, welcher durch die drei Punkte w1,w2,w3 gelegt ist. Es ko¨nnte hierbei eintreten, dassw fu¨r einen speziellen Wert von z unendlich wu¨rde, was aus w= α+βz γ+δz fu¨r z=−γ δ folgt. Dann ist aber( w−w2 w−w3 ·w1−w3 w1−w2 ) w=∞ = w1−w3 w1−w2 = reell, d. h. die Punktew1,w2,w3 liegen auf einer Geraden. Da nun w1−w3 w1−w2 = r1 und w−w2 w−w3 ·w1−w3 w1−w2 = r