Seite - 32 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

32 Einleitung. Um ∫ K dz z−b zu berechnen, setze man z−b=%eiϕ und halte % konstant. Dann ist dz z−b= idϕ, es wird also ∫ K dz z−b= i ∫ 2pi 0 dϕ= 2pii, und mithin ∫ _ b d logf(z) =−2npii. Wird f(z) im Punkte z=anull von dermten Ordnung, ist also f(z) (z−a)m =ϕ(z) undϕ(a) =A von Null verschieden, so ist∫ _ a d logf(z) = ∫ _ a f′(z) f(z) dz=m ∫ _ a dz z−a+ ∫ _ a ϕ′(z)dz ϕ(z) oder wie fru¨her ∫ _ a d logf(z) = 2mpii. Fu¨r den Punkt z=∞ bleiben die Integralwerte gerade so, wie fu¨r z= b oder z=a erhalten. Ist f(z) zn =ϕ(z) undϕ(∞) =Ω von Null und Unendlich verschieden, d. h. wird f(z) fu¨r z=∞ unendlich von dernten Ordnung, so ist logf(z) = +n logz+logϕ(z) und daher ∫ ∞ d logf(z) = ∫ _∞ dz z + ∫ ∞ ϕ′(z) ϕ(z) dz. Nun sollϕ(z) fu¨r sehr grosse Werte von z von Null verschieden sein, also ist∫ _∞ ϕ′(z) ϕ(z) dz= 0.