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42 Einleitung.
16. Ist
w= ∫ z
z0 R(z)dz
undR(z) eine rationale Funktion von z, so wirdw, als Funktion der oberen
Grenze z aufgefasst, in der Umgebung eines jeden Punktes, fu¨r den R(z)
endlich ist, eine eindeutige Funktion von z sein.
Wird aberR(z) fu¨r z= bunendlich, so dass
R(z) = An
(z−b)n+ An−1
(z−b)n−1 + · ·· A2
(z−b)2 + A1
z−b
+B0 +B1(z−b)+ · ··
ist, so wird
w=C− 1
n−1 An
(z−b)n−1− 1
n−2 An−1
(z−b)n−2−···− A2
z−b
+A1 lg(z−b)+B0(z−b)+ 1
2 B1(z−b)2 + · ··
woC eine endliche Konstante bedeutet.
Umkreist nun z ohne aus der Umgebung von b herauszutreten den
Punkt b, so wird sich der log(z−b) um 2pii a¨ndern, alsow um 2piiA1 undw
kann daher nur eindeutig sein, wennA1 = 0 ist.
Wird die rationale FunktionR(z) unendlich fu¨r b1, b2, . . .bm, aber so,
dass jeder KoeffizientAh von (z−bh)−1 in der Entwicklung vonR(z) nach
Potenzen von (z−bh) verschwindet undfu¨rdenPunktz=∞ inderEntwick-
lung der Koeffizient von z−1 daher null ist (Satz 14, S. 37), dann wirdw fu¨r
alle Werte von z eine eindeutige Funktion sein, die in den Punkten b1 . . .bm,
∞, nur von einer endlichen ganzzahligenOrdnung unendlich wird, und
muss daher auch fu¨r eine endliche Anzahl von Werten verschwinden, d. h.
sie ist eine rationaleFunktion von z.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher