Page - 42 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

42 Einleitung. 16. Ist w= ∫ z z0 R(z)dz undR(z) eine rationale Funktion von z, so wirdw, als Funktion der oberen Grenze z aufgefasst, in der Umgebung eines jeden Punktes, fu¨r den R(z) endlich ist, eine eindeutige Funktion von z sein. Wird aberR(z) fu¨r z= bunendlich, so dass R(z) = An (z−b)n+ An−1 (z−b)n−1 + · ·· A2 (z−b)2 + A1 z−b +B0 +B1(z−b)+ · ·· ist, so wird w=C− 1 n−1 An (z−b)n−1− 1 n−2 An−1 (z−b)n−2−···− A2 z−b +A1 lg(z−b)+B0(z−b)+ 1 2 B1(z−b)2 + · ·· woC eine endliche Konstante bedeutet. Umkreist nun z ohne aus der Umgebung von b herauszutreten den Punkt b, so wird sich der log(z−b) um 2pii a¨ndern, alsow um 2piiA1 undw kann daher nur eindeutig sein, wennA1 = 0 ist. Wird die rationale FunktionR(z) unendlich fu¨r b1, b2, . . .bm, aber so, dass jeder KoeffizientAh von (z−bh)−1 in der Entwicklung vonR(z) nach Potenzen von (z−bh) verschwindet undfu¨rdenPunktz=∞ inderEntwick- lung der Koeffizient von z−1 daher null ist (Satz 14, S. 37), dann wirdw fu¨r alle Werte von z eine eindeutige Funktion sein, die in den Punkten b1 . . .bm, ∞, nur von einer endlichen ganzzahligenOrdnung unendlich wird, und muss daher auch fu¨r eine endliche Anzahl von Werten verschwinden, d. h. sie ist eine rationaleFunktion von z.