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ist,d.h.dassnurdieFunktionϑ1(u)ungerade,die u¨brigengeradeFunktionen
vonu sind. Es ist ferner, wennϑ(0) =ϑ gesetzt wird,
ϑ3 = 1+2 ∞∑
n=1 qn 2
= 1+2(q+q4 +q9 +q16 +q25 + · ··) (VIII)
ϑ0 = 1+2 ∞∑
n=1
(−1)nqn2 = 1−2(q−q4 +q9−q16 + · ··)
Ï‘2 = 2q 1
4 ∞∑
n=1 qn(n−1) = 2q 1
4(1+q2 +q6 +q12 +q20 + · ··)
Ï‘1 = 0.
Diese Reihenentwicklungen fu¨r die ϑ(u) und ϑ sind a¨usserst konvergent,
da |q|<1 ist und die Potenzen von q a¨usserst rasch wachsen.
10. Wir sahen soeben, dass
ϑ1(u−α) fu¨ru=α
verschwindet, da aber bei der Addition vonmω+m′ω′ (m,m′ ganze Zah-
len) zum Argument dieϑ1-Funktion sich reproduzirt multiplizirt mit einem
Exponentialfaktor, so muss auch
ϑ1(u−α+mω+m′ω′) = 0,
sein fu¨ru=α, d. h. es ist
ϑ1(mω+m
′ω′) = 0,
wennm undm′ beliebige ganze Zahlen sind. Man ersieht aber, dass, wenn
ϑ1(u−α) = 0 wa¨re fu¨ru−α=β, woβ innerhalb des ersten Periodenparal-
lelogramms la¨ge, dass auch
ϑ1(β+mω+m ′ω′) = 0
wa¨re, d. h. aus jeder Verschwindungsstelle der Funktionϑ1(u−α) innerhalb
des ersten Periodenparallelogrammes folgen unendlich viele, jede als eine da-
zukongruenteStelle in jedemderunendlichvielenParallelogramme,dieman
ausω,ω′ konstruirend neben einander legen kann. Ko¨nnen wir daher nach-
weisen, dass ϑ1(u−α) nur einmal innerhalb des ersten Parallelogramms,
na¨mlich fu¨r u= α, verschwindet, so sind alle Nullstellen von ϑ1(u) in der
Formel
u=mω+m′ω′
enthalten, wom,m′ ganze Zahlen sind.
Wir bemerken, dassϑ1(u) fu¨r keinen endlichen Wertu unendlich wird.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher