Page - 59 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

59 ist,d.h.dassnurdieFunktionϑ1(u)ungerade,die u¨brigengeradeFunktionen vonu sind. Es ist ferner, wennϑ(0) =ϑ gesetzt wird, ϑ3 = 1+2 ∞∑ n=1 qn 2 = 1+2(q+q4 +q9 +q16 +q25 + · ··) (VIII) ϑ0 = 1+2 ∞∑ n=1 (−1)nqn2 = 1−2(q−q4 +q9−q16 + · ··) ϑ2 = 2q 1 4 ∞∑ n=1 qn(n−1) = 2q 1 4(1+q2 +q6 +q12 +q20 + · ··) ϑ1 = 0. Diese Reihenentwicklungen fu¨r die ϑ(u) und ϑ sind a¨usserst konvergent, da |q|<1 ist und die Potenzen von q a¨usserst rasch wachsen. 10. Wir sahen soeben, dass ϑ1(u−α) fu¨ru=α verschwindet, da aber bei der Addition vonmω+m′ω′ (m,m′ ganze Zah- len) zum Argument dieϑ1-Funktion sich reproduzirt multiplizirt mit einem Exponentialfaktor, so muss auch ϑ1(u−α+mω+m′ω′) = 0, sein fu¨ru=α, d. h. es ist ϑ1(mω+m ′ω′) = 0, wennm undm′ beliebige ganze Zahlen sind. Man ersieht aber, dass, wenn ϑ1(u−α) = 0 wa¨re fu¨ru−α=β, woβ innerhalb des ersten Periodenparal- lelogramms la¨ge, dass auch ϑ1(β+mω+m ′ω′) = 0 wa¨re, d. h. aus jeder Verschwindungsstelle der Funktionϑ1(u−α) innerhalb des ersten Periodenparallelogrammes folgen unendlich viele, jede als eine da- zukongruenteStelle in jedemderunendlichvielenParallelogramme,dieman ausω,ω′ konstruirend neben einander legen kann. Ko¨nnen wir daher nach- weisen, dass ϑ1(u−α) nur einmal innerhalb des ersten Parallelogramms, na¨mlich fu¨r u= α, verschwindet, so sind alle Nullstellen von ϑ1(u) in der Formel u=mω+m′ω′ enthalten, wom,m′ ganze Zahlen sind. Wir bemerken, dassϑ1(u) fu¨r keinen endlichen Wertu unendlich wird.