Seite - 60 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

60 II. Theorie der Thetafunktionen. Fig. 21. Nun ist ∫ d logϑ1(u−α) genommen la¨ngs der Begrenzung einer Fla¨che, innerhalb welcher ϑ1(u) eindeutig ist, und die den Punkt u=∞ nicht einschliesst, gleich 2piin, wenn n die An- zahl der Nullstellen von ϑ1(u−α) ist (vergl. Satz 13, S. 32), da ϑ1(u−α) nicht unendlich werden kann. Wir nehmen das Periodenparallelogramm 0abc (Fig. 21), als die Fla¨che, la¨ngs deren Be- grenzung das Integral zu erstrecken ist, wobei 0a=ω= cb, 0c=ω′=ab ist. Es ist∗) 2piin = ∫ 0abc d logϑ1(u−α) = ∣∣∣∫ 0a d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣∫ ab d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣∫ bc d logϑ1(u−α)+ + ∣∣∣0∫ c0 d logϑ1(u−α) = ∣∣∣ω∫ 0 d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣ω+ω ′∫ ω d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣ω ′∫ ω+ω′ d logϑ1(u−α)+ + ∣∣∣0∫ ω′ d logϑ1(u−α). Im dritten Integral setzen wiru=u′+ω′, da dann ϑ1(u−α) =ϑ1(u′−α+ω′) =−ϑ1(u′−α)e−(2u ′−2α+ω′)piiω . ∗) Unter |∫ 0a das la¨ngs der Geraden 0ahin erstreckte Integral verstanden.