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60 II. Theorie der Thetafunktionen.
Fig. 21.
Nun ist ∫
d logϑ1(u−α) genommen la¨ngs
der Begrenzung einer Fla¨che, innerhalb welcher
ϑ1(u) eindeutig ist, und die den Punkt u=∞
nicht einschliesst, gleich 2piin, wenn n die An-
zahl der Nullstellen von ϑ1(u−α) ist (vergl.
Satz 13, S. 32), da ϑ1(u−α) nicht unendlich
werden kann.
Wir nehmen das Periodenparallelogramm
0abc (Fig. 21), als die Fla¨che, la¨ngs deren Be-
grenzung das Integral zu erstrecken ist, wobei
0a=ω= cb, 0c=ω′=ab
ist. Es ist∗)
2piin = ∫
0abc d logϑ1(u−α)
= ∣∣∣∫
0a d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣∫
ab d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣∫
bc d logϑ1(u−α)+
+ ∣∣∣0∫
c0 d logϑ1(u−α)
= ∣∣∣ω∫
0 d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣ω+ω
′∫
ω d logϑ1(u−α)+ ∣∣∣ω
′∫
ω+ω′ d logϑ1(u−α)+
+ ∣∣∣0∫
ω′ d logϑ1(u−α).
Im dritten Integral setzen wiru=u′+ω′, da dann
ϑ1(u−α) =ϑ1(u′−α+ω′) =−ϑ1(u′−α)e−(2u ′−2α+ω′)piiω .
∗) Unter |∫
0a das la¨ngs der Geraden 0ahin erstreckte Integral verstanden.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher