Seite - 67 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

67 Denn sollF(u) fu¨ru=α einfach unendlich werden, so muss F(u) = A u−α+B+B1(u−α)+ · ·· sein, da aber nach eben bewiesenem ∑ Ar= 0 sein muss, so mu¨ssteA= 0 sein, d. h.F(u) wu¨rde fu¨ru=α auch nicht unendlich werden, mu¨sste daher eine Konstante sein. Doppeltperiodische Funktionen niedrigster Ordnung sind daher die von der zweiten Ordnung. Sind die beiden Unendlichkeitspunkte von einander verschieden, so muss F(u) = A u−α1 +B+B1(u−α1)+ · ·· F(u) = −A u−α2 +B′+B′1(u−α2)+ · ·· sein in der Umgebung vonα1 resp.α2. Sind aber die beiden Unendlichkeits- punktenichtverschieden,dannwirdF(u) fu¨ru=αvonderzweitenOrdnung unendlich und es muss F(u) = −A (u−α)2 +B+B1(u−α)+ · ·· , sein, d. h. das Glied mit 1u−α muss ausfallen. Zusatz. Soll eine eindeutige fu¨r alle endlichen Werte vonu endliche Funk- tion vonu den beiden Gleichungen ϕ(u+ω) = (−1)εϕ(u) ϕ(u+ω′) = (−1)ε′ϕ(u)ε−(2u+ω′)piiω genu¨gen, so mussϕ(u) =C ·ϑ(u,ε,ε′) sein, woC eine von u unabha¨ngige Gro¨sse ist undϑ(u,ε,ε′) die in (7) S. 53 aufgestellteϑ-Funktion ist. Denn es ist ϕ(u) ϑ(u,ε,ε′) =f(u) eine doppeltperiodische Funktion mit den Periodenω undω′; also ist ϕ(u) =f(u)ϑ(u,ε,ε′). Nun sollϕ(u) nicht unendlich werden, also kann f(u) nur unendlich werden, wenn ϑ(u,ε,ε′) = 0 ist. Wie wir sahen verschwindet aber ϑ(u,ε,ε′) nur