Seite - 70 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

70 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. d. h. J= 2pii(κ′Ω−κΩ′). Nun folgt ohne weiteres, dass J vonA unabha¨ngig ist. Denn a¨ndert manA unendlich wenig ab, so mu¨sste, wenn J vonA abha¨ngen wu¨rde, sich dieses auchimAllgemeinenunendlichwenig a¨ndern.Daaberκundκ′ganzeZahlen sind, so kann sich J nur um Ω oder Ω′ oder allgemein um mΩ−m′Ω′ a¨ndern, welche Gro¨sse nie unendlich klein sein kann, also kannJ vonΩnicht abha¨ngen. Es ist u¨berdiess auch ∂J ∂A =Ω ∫ Ω 0 d lg(F(u)−A) F(u)−A −Ω ′ ∫ Ω 0 d lg(F(u)−A) F(u)−A =Ω ∫ z0+2κ′pii z0 e−zdz−Ω′ ∫ z0+2κpii z0 e−zdz= 0, also J vonAunabha¨ngig. Daher ist n∑ ν=1 uν− n∑ ν=1 αν=κ′Ω−κΩ′ und n∑ ν=1 uν= n∑ ν=1 αν+κ′Ω−κΩ′, wodurch der Satz bewiesen.∗) Wird alsoF(u) = 0 fu¨ru=β1,β2 . . .βn, so ist n∑ ν=1 βν= n∑ ν=1 αν+κ′Ω−κΩ′, ∗) Wu¨rde fu¨r u = uν . ..F(u)−A = (u−uν)κ[B+B1(u−uν) + · ·· ] sein und B von Null verschieden, d. h. wu¨rde F(u) fu¨r u= uν den Wert A κ-mal annehmen, also F ′(uν) = 0, F ′′(uν) = 0, .. .F(κ−1)(uν) = 0 sein, so ergibt sich ∫ _ uν udlg(F(u)−A) = 2piiκuν, d. h. es wu¨rde in der ∑n ν=1un das Argumentκuν als Summand auftreten, das ist genau so, als obκ der Werte uν einander gleich wu¨rden. Ebenso verha¨lt es sich mit den Unendlichkeitsstellen, wenn F(u)−A fu¨r u= αµ unendlich von der λten Ordnung wird, dann ist ∫ _ uµ udlg(F(u)−A) =−2piiλαµ, also tritt in der Summe derα die Gro¨sse αµ λ-mal auf. Ist also jede Stelle uν eineκν-fache Nullstelle vonF(u)−A und jedesαµ eine λµ-fache Unendlichkeitsstelle vonF(u)−A, so kann die Gleichung des Textes auch geschriebenwerden: ∑n′ ν=1κνuν= ∑m′ 1 λµαµ+κ′Ω−κΩ′,wobei ∑n′ ν=1κν= ∑m′ 1 λµ=n ist.