Seite - 82 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

82 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. also eine ganze rationale Funktion 3. Ordnung vonϕ. Setzt man z=ϕ(u) so wird entweder( dz du )2 =G2(z4 +Az3 +Bz2 +Cz+D), (1) oder ( dz du )2 =G2(z3 +Az2 +Bz+C), (1a) woG,A,B,C,DKonstanten sind. Wir werden in der Theorie der ellip- tischen Integrale sehen, dass man diese Konstanten beliebig wa¨hlen kann, und dass sie dann die eindeutige Funktion z=ϕ(u) bestimmen, welche der Differentialgleichung (1) oder (1a) genu¨gt. Da [ϕ′]2 = r1(ϕ) sich ergiebt, so folgt durch Differentiation nachu: ϕ′′= 12r ′ 1(ϕ), wenn r′1(ϕ) = dr1(ϕ) dϕ gesetzt wird und hieraus, dass sich alle ho¨heren als ersten Ableitungen von ϕ rational und ganz durchϕ undϕ′ ausdru¨cken, was auch aus dem Satze 18 folgt. Denn da ϕ(n) (c 2 +u ) = (−1)nϕ(n)(c2−u) ist, so wird fu¨r jedes geraden= 2ν ϕ(2ν) (c 2 +u ) =ϕ(2ν) (c 2−u ) sein, d. h. ϕ(2ν) (c 2 +u ) ist als gerade doppeltperiodische Funktion durch ϕ (c 2 +u ) allein ausdru¨ckbar. Fu¨rn= 2ν+1 aber ist ϕ(2ν+1) (c 2 +u ) =−ϕ(2ν+1)(c2−u) , d. h. ϕ(2ν+1) (c 2 +u ) ist als rationale Funktion von ϕ (c 2 +u ) multiplizirt mitϕ′ (c 2 +u ) ausdru¨ckbar. Daher ist ϕ(2ν)(u)=rν[ϕ(u)] ϕ(2ν+1)(u)=ϕ′(u)%ν[ϕ(u)], wo rν und%ν ganze rationale Funktionensind,wiemanohneweiteresdaraus erkennt, dassϕ(n)(u) nur unendlich werden kann, wennϕ(u) unendlich wird. Fu¨r rν(ϕ) und %ν(ϕ) ergeben sich leicht mittels (1) Rekursionsformeln zur Berechnung der Koeffizienten dieser Funktionen.