Seite - 83 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

83 20. Zwischen je zwei doppeltperiodischen FunktionenF(u),Φ(u) von umit denselben Perioden besteht eine rationale Gleichung. Denn aus F= r(ϕ)+ϕ′r1(ϕ) r2(ϕ) folgt [Fr2(ϕ)−r(ϕ)]2−(ϕ′)2r21(ϕ) = 0, (A) welche Gleichung inϕ rational ist, da (ϕ′)2 sich durchϕ rational ausdru¨ckt. Da nun auch Φ= %(ϕ)+ϕ′%1(ϕ) %2(ϕ) ist, also [Φ%2(ϕ)−%(ϕ)]2−(ϕ′)2%21(ϕ) = 0 (A′) sich ergiebt, so kann man aus (A) und (A′) die darin rational auftretende Gro¨sseϕ eliminiren und erha¨lt als Resultat G(F,Φ) = 0, (B) eine inF undΦ rationale Gleichung. IstF(u) einedoppeltperiodischeFunktionnter Ordnung,Φ(u) eine solche mter Ordnung, so wird Φ ho¨chstens im nten Grade, F immten Grade in G, oder einen Faktor von G wenn diese reduktibel wa¨re, eintreten, denn einem WerteF1 vonF(u) entsprechennWerteu:u1,u2 . . .un, fu¨r dieΦ im Allgemeinen n verschiedene Werte liefert, die der GleichungG(F1,Φ) = 0 genu¨gen, in derF1 denselben Wert beha¨lt. Die Gleichungnten Grades inΦundmten Grades inF ist aber nun leicht aufzustellen. Denn seiF(u) =F fu¨ru=u1,u2 . . .un, so sind Φ(u1)+Φ(u2)+ · ··+ Φ(un) =A1 Φ(u1)Φ(u2)+Φ(u1)Φ(u3)+ · ··+Φ(un−1)Φ(un)=A2 ... ... ... ... Φ(u1)Φ(u2)· ··Φ(un) =An A1,A2 . . .An symmetrische Funktionen vonF, undΦ die Wurzel der Glei- chung A0Φ n+A1Φ n−1 +A2Φn−2 · ··+An= 0. So besteht zwischenF(u) undF′(u) = dFdu eine rationale Gleichung, in der F′(u) bis zurnten Potenz ansteigt, wennF(u) eine doppeltperiodische Funk- tionnter Ordnungist.Fu¨rdiese istA0 eineKonstante,daF ′(u)nurunendlich wird, wennF(u) unendlich ist.