Seite - 86 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

86 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. so muss sie auch reduktibel sein als Gleichung fu¨rF aufgefasst; das letztere kann aber nur dann stattfinden, wenn entwederϕ′= 0 oder r1(ϕ) = 0 ist. Dannwirdaber jede sichausF ·r2(ϕ)−r(ϕ) = 0ergebendeWurzelϕ1 . . .ϕn′ fu¨r den Wert vonF zwei gleiche entgegengesetzt bezeichneteϕ′ liefern, wenn nichtϕ′ selbst null ist. Analoge Betrachtungen gelten fu¨r die Gleichung (4). Schliessen wir nun die Werte vonF undΦ aus, welche entwederϕ′(u) = 0 oder r1(ϕ) = 0 oder %1(ϕ) = 0 machen, so sind hierdurch nur eine endliche Anzahl von Werten F undΦ ausgeschlossen und fu¨r alle u¨brig bleibenden Werte von F undΦ haben sowohl (3) als (4) nur lauter verschiedene Wurzeln. SeinunF=F1 einerderzula¨ssigenWerte,dann liefert (3)nvoneinander verschiedeneWurzelnϕ :ϕ1,ϕ2 . . .ϕnundmitHilfederselben(1)ebensoviele Werte vonϕ′ :ϕ′1,ϕ′2 . . .ϕ′n. Setzen wir nun das Wertepaarϕ1,ϕ ′ 1 in (2) ein, so erhalten wirΦ=Φ1, welches von den WertenΦ=Φi verschieden sein muss, die man erha¨lt, wenn man ϕ= ϕi, ϕ ′ = ϕ′i daselbst einsetzt, sobald i 6= 1 ist. Setzen wir nun Φ=Φ1 in (4) ein, so genu¨gt dieser Gleichung, als Gleichung fu¨rϕaufgefasst, der Wert ϕ = ϕ1 und nur dieser aus der Reihe der Werte ϕ1, ϕ2 . . .ϕn, welche (3) genu¨gen; denn wu¨rde ihr auchϕ=ϕi, i 6= 1 genu¨gen, so wu¨rde aus derselben Φ1 = %(ϕi)+ϕ ′ i%1(ϕi) %2(ϕi) =Φi folgen, was nicht mo¨glich ist. Da also (3) und (4) die einzige Wurzel ϕ1 gemeinschaftlichhaben, so la¨sst sichdiesenachdemHilfssatze rationaldurch dieKoeffizientenderGleichungen,d.h. rationaldurchF1 undΦ1 ausdru¨cken, oder es ist ϕ(u) =R ( F(u),Φ(u) ) fu¨r alle Werte von u, fu¨r welcheF undΦ die oben ausgeschlossenen Werte nicht besitzen, und da letztere nur eine endliche Anzahl von Werten von u darstellen, die Gleichung aber fu¨r das u¨brig bleibende zweifach ausgedehnte komplexe Gebiet vonu gilt, so gilt sie ganz allgemein. Da nun aus (1) sichϕ′ rational durchF undϕ ausdru¨ckt, so ist auch ϕ′=R1(F,Φ). Wirhabenalso,wennwirdas indervorigenunddieserNummerErhaltene zusammenfassen, folgenden allgemeinen Satz: Zwischen zwei beliebigen eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen F(u),Φ(u) mit denselben Perioden besteht eine rationale Gleichung G(F,Φ) = 0