Seite - 94 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

94 IV. Elliptische Funktionen. cu= + √ 1−s2u ∆u= + √√√√1− s2 s ( ω+ω′ 2 ) auch dem Zeichen nach. Analog kann man s(u) und c(u) oder s(u) und∆(u) mittels einer Qua- dratwurzel ausdru¨cken durch∆(u) resp. c(u), wobei dann beachtet werden muss, welches Vorzeichen der Quadratwurzel zu geben ist. 24. Wir fu¨hren folgende Gro¨ssen, die eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen spielen, ein, indem wir √ κ= ϑ2 ϑ3 = 2q 1 4 ∑∞ 1 q n(n−1) 1+2 ∑∞ 1 q n2 ; √ κ′= ϑ0 ϑ3 = 1+2 ∑∞ 1 (−1)nqn 2 1+2 ∑ qn 2 (11) setzen, wobei der Quadratwurzel das Vorzeichen der rechten Seite zukommt, die nur von q= e ω′ ωpii abha¨ngt. Da nun s ( ω+ω′ 2 ) = ϑ3 ϑ2 · ϑ1 ( ω+ω′ 2 ) ϑ0 ( ω+ω′ 2 )=(ϑ3 ϑ2 )2 nach den Formeln auf S. 76 ist, so ist s ( ω+ω′ 2 ) = 1 κ und man kann daher c2u+s2u= 1, ∆2u+κ2s2u= 1 oder c(u) = √ 1−s2(u), ∆(u) = √ 1−κ2s2(u) (12) setzen, wobei u¨ber das Vorzeichen der Quadratwurzeln die fru¨heren Festset- zungen zu beachten sind. Es ist ∆ (ω 2 ) = + √ 1−κ2,