Seite - 104 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

104 V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. also ist f(u) =A · cu 1−κ2s2vs2u ϕ(u) =B · c ′u 1−κ2s2vs2u=−BG su∆u 1−κ2s2vs2u. Setzt man in der ersten Gleichungu= 0, in der zweitenu= ω2 , so wird nach den Gleichungen (14) 2cv=A, 2sv∆v=BG sich ergeben, und daher ist c(u+v)+c(u−v) = 2 cucv 1−κ2s2us2v c(u+v)−c(u−v) =−2 su∆usv∆v 1−κ2s2us2v, mithin c(u+v) = cucv−susv∆u∆v 1−κ2s2us2v . (20a) Aendert man in s(u+v)u um ω2 , so erha¨lt man c(u+v) ∆(u+v) = cucv∆u∆v−κ′2susv ∆2u−κ2c2uc2v = cucv∆u∆v−κ′2susv κ′2 +κ2c2uc2v . Mit Hilfe der Gleichungen (12) ergiebt sich (cucv∆u∆v−κ′2susv)(∆u∆v−κ2susvcucv) = cucv(∆2u∆2v+κ2κ′2s2us2v)−susv∆u∆v(κ′2 +κ2c2uc2v) = (cucv−susv∆u∆v)(κ′2 +κ2c2uc2v) also ist c(u+v) ∆(u+v) = cucv−susv∆u∆v ∆u∆v−κ2susvcucv und zufolge (20a) daher ∆(u+v) = ∆u∆v−κ2susvcucv 1−κ2s2us2v . (21a) Diese Ausdru¨cke fu¨r s(u+ v), c(u+ v), ∆(u+ v) kann man zufolge der Gleichungen (12) noch auf andere Formen bringen. Denn es ergeben sich