Seite - 107 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

107 Fu¨r jede ganze Zahlm la¨sst sich s(mu) rational durch su und s′u aus- dru¨cken. Es ist s(mu) su eine gerade doppeltperiodische Funktion von u, wel- che die Perioden 2ω und ω′ besitzt. Dieselbe la¨sst sich also rational durch s ( u+ ω+ω ′ 2 ) allein ausdru¨cken [nach dem ersten Satz 18 S. 77]. Da nun s ( u+ ω+ω ′ 2 ) = 1 κ ∆u cu = 1 Gκ s′u c2u ist, so la¨sst sich s(mu) su rational durch s ′uund s2u ausdru¨cken, so dass s(mu) = su [ R(s2u)+s′uP(s2u) ] ist, woR undP rationale Funktionen des Arguments s2 sind. Da nun s(u+ω) =−su, s2(u+ω) = s2u, s′(u+ω) =−s′u ist, so folgt fu¨r ein geradesm= 2ν s [2ν(u+ω)] = s(2νu+2νω) = s(2νu) =−su [ R(s2)−s′(u)P(s2) ] d. h. es mussR(s2)≡0 sein, also ist s(2νu) = sus′uP(s2u); fu¨r ein ungeradesm= 2ν+1 ergiebt sich dann s [(2ν+1)u] = suR(s2u). Die explicite Darstellung der FunktionenP undRbietet keine besondere Schwierigkeit,daalleNull-undUnendlichkeitsstellenderselbenbekanntsind, doch soll dieselbe hier u¨bergangen werden. Man vergleiche hierzu: Abel, Pre´cis d’une the´orie des fonctions elliptiques Grelle Bd. 4 S. 236, sowie die neue Ausgabe seiner gesammelten Werke Christiania 1881 Bd. I S. 518; Ko¨nigsberger, Vorlesungen u¨b.dieTheoriederellipt.Funktionen Leip- zig 1874 II. Theil S. 204 u. 208 u. a.