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VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen.
29. Aus dem Additionstheorem fu¨r die elliptischen Funktionen ergeben sich
Additionstheoreme fu¨r die ϑ-Funktionen, und umgekehrt ergiebt jedes Ad-
ditionstheorem fu¨r die ϑ-Funktionen, wie wir sehen werden, ein Additions-
theorem fu¨r die elliptischen Funktionen.
Fu¨hren wir in die Formel (22)ϑ-Funktionen ein, so wird dieselbe, da
s(u+v) = Ï‘3
Ï‘2 Ï‘1(u+v)
ϑ0(u+v) , s(u−v) = ϑ3
ϑ2 ϑ1(u−v)
ϑ0(u−v)
su= Ï‘3
Ï‘2 Ï‘1(u)
Ï‘0(u) , sv= Ï‘3
Ï‘2 Ï‘1(v)
Ï‘0(v)
ist, lauten
ϑ1(u+v)ϑ1(u−v)
ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) = ϑ21uϑ
2
0v−ϑ21vϑ20u
ϑ20uϑ
2
0v−ϑ21vϑ21u .
Da Za¨hler und Nenner rechter Hand fu¨r allgemeine Werte von u und v
keinen Faktor gemeinschaftlich haben und der Za¨hler links und rechts fu¨r
u=v verschwindet, wa¨hrend der Nenner endlich bleibt, so kann man
%ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) =ϑ21uϑ20v−ϑ21vϑ20u
%ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ20vϑ20u−ϑ21vϑ21u
setzen, wobei % zu bestimmen ist.
Nun ist
%= ϑ21uϑ
2
0v−ϑ21vϑ20u
ϑ1(u+v)ϑ1(u−v)
ausdererstenGleichungbestimmt,beikonstantemv einedoppeltperiodische
Funktion vonu, mit den Periodenω,ω′. Denn a¨ndert manuumω, so bleibt
Za¨hler und Nenner ungea¨ndert. Aendert man aberu umω′, so wird
ϑ21(u+ω ′)ϑ20v−ϑ21vϑ20(u+ω′) =
= (ϑ21uϑ
2
0v−ϑ21vϑ20u)e−2(2u+ω ′)piiω
ϑ1(u+v+ω ′)ϑ1(u−v+ω′) =
=ϑ1(u+v)ϑ1(u−v)e−2(2u+ω ′)piiω ,
also bleibt% auch ungea¨ndert. Es kann nun% im Periodenparallelogrammω,
ω′ unendlich werden nur fu¨ru≡v undu≡−v; da aber fu¨r diese Werte der
Za¨hler auch verschwindet, so kann % u¨berhaupt fu¨r keinen Wert von u im
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- Schlagwörter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- Lehrbücher