Page - 108 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. 29. Aus dem Additionstheorem fu¨r die elliptischen Funktionen ergeben sich Additionstheoreme fu¨r die ϑ-Funktionen, und umgekehrt ergiebt jedes Ad- ditionstheorem fu¨r die ϑ-Funktionen, wie wir sehen werden, ein Additions- theorem fu¨r die elliptischen Funktionen. Fu¨hren wir in die Formel (22)ϑ-Funktionen ein, so wird dieselbe, da s(u+v) = ϑ3 ϑ2 ϑ1(u+v) ϑ0(u+v) , s(u−v) = ϑ3 ϑ2 ϑ1(u−v) ϑ0(u−v) su= ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) , sv= ϑ3 ϑ2 ϑ1(v) ϑ0(v) ist, lauten ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) = ϑ21uϑ 2 0v−ϑ21vϑ20u ϑ20uϑ 2 0v−ϑ21vϑ21u . Da Za¨hler und Nenner rechter Hand fu¨r allgemeine Werte von u und v keinen Faktor gemeinschaftlich haben und der Za¨hler links und rechts fu¨r u=v verschwindet, wa¨hrend der Nenner endlich bleibt, so kann man %ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) =ϑ21uϑ20v−ϑ21vϑ20u %ϑ0(u+v)ϑ0(u−v) =ϑ20vϑ20u−ϑ21vϑ21u setzen, wobei % zu bestimmen ist. Nun ist %= ϑ21uϑ 2 0v−ϑ21vϑ20u ϑ1(u+v)ϑ1(u−v) ausdererstenGleichungbestimmt,beikonstantemv einedoppeltperiodische Funktion vonu, mit den Periodenω,ω′. Denn a¨ndert manuumω, so bleibt Za¨hler und Nenner ungea¨ndert. Aendert man aberu umω′, so wird ϑ21(u+ω ′)ϑ20v−ϑ21vϑ20(u+ω′) = = (ϑ21uϑ 2 0v−ϑ21vϑ20u)e−2(2u+ω ′)piiω ϑ1(u+v+ω ′)ϑ1(u−v+ω′) = =ϑ1(u+v)ϑ1(u−v)e−2(2u+ω ′)piiω , also bleibt% auch ungea¨ndert. Es kann nun% im Periodenparallelogrammω, ω′ unendlich werden nur fu¨ru≡v undu≡−v; da aber fu¨r diese Werte der Za¨hler auch verschwindet, so kann % u¨berhaupt fu¨r keinen Wert von u im