Seite - 156 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
Bild der Seite - 156 -
Text der Seite - 156 -
156 II. Funktionen auf der Riemannâschen Fla¨che
eine eindeutige Funktion des Ortes auf T ist, so wird stets dw(x)
dx denselben
Wert haben, wie immer wir die Variable von x0 nach x fu¨hren, und folglich
ko¨nnensichdieverschiedenenWertevonw(x)nurumGro¨ssenunterscheiden,
die vonxunabha¨ngig sind.
Wir wollen nun zeigen, dass alle diese Gro¨ssen sich als ganzzahlige Viel-
fache zweier bestimmter Konstanten darstellen lassen.
Fig. 40.
Wir wissen, dass
w(x) = ⍠x
x0 dx
y
innerhalb der zerschnittenen Fla¨che TⲠeine ein-
deutige Funktion des Ortes ist, also unabha¨ngig
von dem Integrationswege, der fu¨r x vorgeschrie-
ben ist. Es sei w(mâ˛â˛) und w(mâ˛) der Wert von
w(x) inzweiPunktenmâ˛,mâ˛â˛vonTⲠ(Fig.40),die
einander gegenu¨ber auf den Ufern vonA liegen,
die gleichsam als die Punkte aufzufassen sind, die
aus einem Punkte der LinieA durch Zerschnei-
dung entstanden sind. Da der Wert des Integrals
w(mâ˛â˛)vondemIntegrationswege innerhalbTâ˛unabha¨ngig ist, soko¨nnenwir
das Integralw(x) vonx0 nachm
Ⲡund von da nachmâ˛â˛ fu¨hren und erhalten,
wenn wir als letztern Integrationswegmâ˛n1n2n3n4mâ˛â˛wa¨hlen,
w(mâ˛â˛) =w(mâ˛)+w(mâ˛n1)+w(n1n2n3n4)+w(n4mâ˛â˛),
wo w(mâ˛n1) das vonmⲠnach n1 erstreckte Integral ist. Da nun dw(x)dx im
mâ˛â˛ undmⲠdenselben Wert besitzt, so wird das Integral, vonmⲠnach n1
erstreckt, denselben Wert haben, wie das vonmâ˛â˛ nachn4 hin erstreckte und
daher ist
w(mâ˛n1) =w(mâ˛â˛n4) =âw(n4mâ˛â˛)
Es folgt somit aus der obigen Gleichung
w(mâ˛â˛) =w(mâ˛) =w(n1n2n3n4)
fu¨r alle Punktemâ˛,mâ˛â˛, die einander auf den Ufern vonA gegenu¨berliegen.
Wir setzen
w(n1n2n3n4) = âŤ
B dx
y =C,
indem wir das Integral la¨ngs der geschlossenen LinieB im Sinne n1n2n3n4
hin erstrecken undn1 mitn4 zusammenfallend denken.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Titel
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Autor
- Karl Bobek
- Verlag
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Ort
- Leipzig
- Datum
- 1984
- Sprache
- deutsch
- Lizenz
- PD
- Abmessungen
- 21.0 x 29.7 cm
- Seiten
- 290
- SchlagwĂśrter
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Kategorie
- LehrbĂźcher