Page - 156 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

156 II. Funktionen auf der Riemann’schen Fla¨che eine eindeutige Funktion des Ortes auf T ist, so wird stets dw(x) dx denselben Wert haben, wie immer wir die Variable von x0 nach x fu¨hren, und folglich ko¨nnensichdieverschiedenenWertevonw(x)nurumGro¨ssenunterscheiden, die vonxunabha¨ngig sind. Wir wollen nun zeigen, dass alle diese Gro¨ssen sich als ganzzahlige Viel- fache zweier bestimmter Konstanten darstellen lassen. Fig. 40. Wir wissen, dass w(x) = ∫ x x0 dx y innerhalb der zerschnittenen Fla¨che T′ eine ein- deutige Funktion des Ortes ist, also unabha¨ngig von dem Integrationswege, der fu¨r x vorgeschrie- ben ist. Es sei w(m′′) und w(m′) der Wert von w(x) inzweiPunktenm′,m′′vonT′ (Fig.40),die einander gegenu¨ber auf den Ufern vonA liegen, die gleichsam als die Punkte aufzufassen sind, die aus einem Punkte der LinieA durch Zerschnei- dung entstanden sind. Da der Wert des Integrals w(m′′)vondemIntegrationswege innerhalbT′unabha¨ngig ist, soko¨nnenwir das Integralw(x) vonx0 nachm ′ und von da nachm′′ fu¨hren und erhalten, wenn wir als letztern Integrationswegm′n1n2n3n4m′′wa¨hlen, w(m′′) =w(m′)+w(m′n1)+w(n1n2n3n4)+w(n4m′′), wo w(m′n1) das vonm′ nach n1 erstreckte Integral ist. Da nun dw(x)dx im m′′ undm′ denselben Wert besitzt, so wird das Integral, vonm′ nach n1 erstreckt, denselben Wert haben, wie das vonm′′ nachn4 hin erstreckte und daher ist w(m′n1) =w(m′′n4) =−w(n4m′′) Es folgt somit aus der obigen Gleichung w(m′′) =w(m′) =w(n1n2n3n4) fu¨r alle Punktem′,m′′, die einander auf den Ufern vonA gegenu¨berliegen. Wir setzen w(n1n2n3n4) = ∫ B dx y =C, indem wir das Integral la¨ngs der geschlossenen LinieB im Sinne n1n2n3n4 hin erstrecken undn1 mitn4 zusammenfallend denken.