Seite - 170 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

170 III. Das elliptische Normalintegral und es sind mithin z und y eindeutige doppeltperiodische Funktionen von u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) mit den Perioden 4K und 2K1, so dass also z=f(u) =f(u+4mK+2m1K1) y=F(u) =F(u+4mK+2m1K1) ist, wennmundm1 beliebige ganze Zahlen sind. Fig. 50. Wenn wir das Integral u= ∫ z 0 dz y (von z= 0, y= +1) la¨ngs eines beliebigen Weges 0zz1, (Fig. 50) nehmen, so mo¨ge es in z1 den Wert u1 = ∫ 0zz1 dz y erhalten. Das Element des Integrales dzy besitzt in untereinander liegenden Punk- ten der Riemann’schen Fla¨che gleiche und entgegengesetztbezeichneteWerte,daz= z′ ist, aber y im oberen Blatte den Wert y, im unteren y′=−y besitzt, also ist dz y =−dz ′ y′ . Nehmenwir alsodas Integral imoberenundunterenBlatte la¨ngsWegen,die genauuntereinanderverlaufen,denendasselbezundgleicheentgegengesetzt bezeichnete y entsprechen, so wird∫ dz y =− ∫ dz′ y′ +A sein. Wir wollen das erste Integral von (0, 1) bis zu (z1, y1), das zweite von z′= 0, y′= 1, d. h. z= 0, y=−1 bis zu (z′1,y′1) = (z1,−y1) in der oben angedeuteten Art fu¨hren und es wird daher∫ (z1,y1) (0,1) dz y =− ∫ (z1,−y1) (0,−1) dz′ y′ +A.