Seite - 182 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

182 III. Das elliptische Normalintegral Multiplizirt man alle vier Gleichungen mit einander, so folgt(dx dz )4 = 16 κ2 (a1−a2)2(a3−a4)2 (x−a1)2(x−a2)2(x−a3)2(x−a4)2 (1−z2)2(1−κ2z2)2 = 16 κ2 (a1−a2)2(a3−a4)2 R2(x) A2(1−z2)(1−κ2z2)2 also ist (dx dz ) z=0 = 2 √ κ √ R(x1)√ A(a1−a2)(a3−a4) =M √ R(x1), woraus M= 2 √ κ√ A(a1−a2)(a3−a4) folgt. Ist nun fu¨rx=x0 . . .z= z0 und setzt man∫ z0 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) =u0 und ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) =u so folgt aus dx√ R(x) =M dz√ (1−z2)(1−κ2z2) w= ∫ x x0 dx√ R(x) =M ∫ z z0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) =M [∫ 0 z0 dz√ (1−z2)(1−n2z2) + ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) ] , oder w=M(u−u0) da man den Integrationsweg von z0 nach z, welcher dem von x0 nach x fu¨hrenden entspricht, so aba¨ndern kann, dass er durch den Punkt z = 0 geht, ohne den Wert des Integrales wesentlich zu beeintra¨chtigen, denn es ko¨nnen dann nur ganzzahlige Vielfache von Perioden hinzukommen. Nun wissen wir aber, dass aus u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2)