Seite - 207 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

207 Da nun fu¨r |κ|<1 sowohl (1−λ)−34 = 1+ 3 4 λ+ · ·· als auch (1−λ)−14 = 1+ 1 4 λ+ · ·· lauter positive Koeffizienten enthalten, so wird dasselbe fu¨r 1 2[(1−λ)− 3 4 +(1−λ)−14] = 1+ 12λ+ · ··= 1+λψ′(λ) gelten (ψ′(λ) eine Potenzreihe mit positiven Potenzen). Hieraus ergiebt sich 1 4 dλ1 λ1 = dλ λ +ψ′(λ)dλ, also ist 1 4 logλ1 = logλ+logc+ψ(λ), woψ(0) = 0 sein soll undψ(λ) eine Potenzreihe mit lauter positiven Koeffi- zienten ist. Um c zu bestimmen, ersehen wir, dass aus λ 1 4 1 = cλe ψ(λ) . . .c=   λ141 λ   λ=0 folgt. Nun folgt aber aus (c)  λ141 λ   λ=0 = 1 2 [ 1−(1−λ)14 λ ] λ=0 = 1 8 und daher c= 18, somit dass 1 4 logλ1 = log λ 8 +ψ(λ) . . .ψ(0) = 0 ist.ψ(λ) konvergirt noch fu¨r λ= 1, denn daψ(λ) fu¨r alle Werte kleiner als 1 konvergirt und fu¨rλ= 0 verschwindet, so stellt sie stets die Funktion 1 4 logλ1− log λ 8