Seite - 243 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

243 d. h.χ(u) wird auch fu¨ru=Ω3 undu= 2Ω 3 nicht unendlich und muss daher eine KonstanteC sein. Diese istvonNull verschieden,dennsetztmanu=Ω2 , sowird,wennman beachtet, dass ϕ1 ( Ω 2 ) =ϕ2 ( Ω 2 ) ist, c= ϕ33 ( Ω 2 ) +2ϕ32 ( Ω 2 ) ϕ3 ( Ω 2 ) ϕ22 ( Ω 2 ) =   ϕ3 ( Ω 2 ) ϕ2 ( Ω 2 )   2 +2ϕ2 ( Ω 2 ) ϕ3 ( Ω 2 ), (18a) also eine endliche ganz bestimmte Gro¨sse. Es besteht somit fu¨r alleu die Identita¨t [ϕ1(u)] 3 +[ϕ2(u)] 3 +[ϕ3(u)] 3−cϕ1(u)ϕ2(u)ϕ3(u) = 0 d. h. die Gleichung x31 +x 3 2 +x 3 3−cx1x2x3 = 0, (18) wird durch die Werte von x1 : x2 : x3 aus (16) identisch erfu¨llt oder (18) ist die Gleichung der Kurve dritter Ordnung, deren Koordinaten in (16) als doppeltperiodische eindeutige Funktionen vonu dargestellt sind. DieArgumentederΘ1-Funktionsindsogewa¨hlt,dass fu¨rdie reelleKurve dritterOrdnung, fu¨rdieΩ reell,Ω′ entwederrein imagina¨rodervonderForm 1 2Ω+Ω ′ ist woΩ′ rein imagina¨r ist, reellen Werten vonu reelle Punkte der Kurve entsprechen. Mit Ru¨cksicht auf die Formeln IV (S. 56) folgt, dass im ersten Falle auch Werten von der Form u+Ω ′ 2 , wo u reell ist, reelle Punkte der Kurve zugeho¨ren. In diesen Fa¨llen ist auch c reell. DieKurvedritterOrdnung,derenGleichungendieForm(15)haben,kann einen Doppelpunkt nicht besitzen. Denn ha¨tte sie einen solchen und wa¨ren a1x1 +a2x2 +a3x3 = 0 b1x1 +b2x2 +b3x3 = 0 irgend zwei durch denselben gehende Gerade, also a1x1 +a2x2 +a3x3−λ(b1x1 +b2x2 +b3x3) = 0 (A) dieGleichungdesStrahlenbu¨schels,derdurch ihngeht, sowu¨rde jedeGerade desselben die Kurve nur in einem Punkte treffen, d. h. fu¨r jeden Wert vonλ ergiebt sich aus der Gleichung der Kurve f(x1,x2,x3) = 0