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258 II. Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten denx auflo¨sbar, d. h. es folgt aus denselben∗) νx1 =ψ1(ξ1,ξ2,ξ3) νx2 =ψ2(ξ1,ξ2,ξ3) νx3 =ψ3(ξ1,ξ2,ξ3) (5) ∗) Der Beweis la¨sst sich etwa so fu¨hren: SeiF(x,y,1) = 0 die Gleichung der Kurve, in der wirx und y bis zurnten Potenz aufsteigend annehmen und es sei ξ= ϕ1(x,y,1) ϕ3(x,y,1) , η= ϕ2(x,y,1) ϕ3(x,y,1) . Wir nehmen nun einen Wertx1 derartig beschaffen, dass die Geradex=x1 die Kurve F= 0innvoneinanderverschiedenenPunktenschneidet, fu¨rdieydieWertey1,y2, . .. ,yn besitzt, die alle von einander verschieden sind und Wurzeln der GleichungF(x1,y,1) = 0 sind. Bilden wir nun[ ϕ1(x1,y1,1)−ξϕ3(x1,y1,1) ]× ×[ϕ1(x1,y2,1)−ξϕ3(x1,y2,1)] · ··× ×[ϕ1(x1,yn,1)−ξϕ3(x1,yn,1)]=G1(x1,ξ)[ ϕ2(x1,y1,1)−ηϕ3(x1,y1,1) ]× ×[ϕ2(x1,y2,1)−ηϕ3(x1,y2,1)]· ··× × [ϕ2(x1,yn,1)−ηϕ3(x1,yn,1)] =G2(x1,η), so sindG1 undG2 rationale Funktionen vonx1, und ξ resp. η, da sie beide symmetrische Funktionen von y1, y2, . .. , yn sind, welche durch die Koeffizienten von y in der Gleichung F(x1,y,1) = 0 ersetzt werden ko¨nnen. Giebt man nun dem ξ und η solche Werte, dass z. B. ϕ1(x1,yk,1)−ξϕ3(x1,yk,1) = 0 ϕ2(x1,yk,1)−ηϕ3(x1,yk,1) = 0 ist, d. h. dass je eine Kurve der Bu¨schel ϕ1(x,y,1)−ξϕ3(x,y,1) = 0 ϕ2(x,y,1)−ηϕ3(x,y,1) = 0 durch den Punkt mit den Koordinaten (x1,yk) geht, so wird jede dieser Kurven F = 0 noch in zwei anderen Punkten schneiden, die aber nicht auf der Geraden x= x1 liegen werden, d. h. die Gleichungen G1(x1,ξ) = 0 G2(x1,η) = 0 haben fu¨r die betrachteten Werte ξ und η nur die eine Wurzel x1 gemeinschaftlich, die auch der GleichungF(x1,y,1) = 0 genu¨gt. Daher kann man x1=R(ξ,η) setzen, woR eine rationale Funktion von ξ,η und den Koeffizienten vonG1, G2 also auch den Koeffizienten vonϕ1, ϕ2, ϕ3 undF ist. Ebenso folgt aber y1=R1(ξ,η)