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258 II. Kurvennter Ordnung mit 12n(n−3) Doppelpunkten
denx auflo¨sbar, d. h. es folgt aus denselben∗)
νx1 =ψ1(ξ1,ξ2,ξ3)
νx2 =ψ2(ξ1,ξ2,ξ3)
νx3 =ψ3(ξ1,ξ2,ξ3) (5)
∗) Der Beweis la¨sst sich etwa so fu¨hren: SeiF(x,y,1) = 0 die Gleichung der Kurve, in
der wirx und y bis zurnten Potenz aufsteigend annehmen und es sei
ξ= ϕ1(x,y,1)
ϕ3(x,y,1) , η= ϕ2(x,y,1)
Ï•3(x,y,1) .
Wir nehmen nun einen Wertx1 derartig beschaffen, dass die Geradex=x1 die Kurve
F= 0innvoneinanderverschiedenenPunktenschneidet, fu¨rdieydieWertey1,y2, . .. ,yn
besitzt, die alle von einander verschieden sind und Wurzeln der GleichungF(x1,y,1) = 0
sind. Bilden wir
nun[
ϕ1(x1,y1,1)−ξϕ3(x1,y1,1) ]×
×[ϕ1(x1,y2,1)−ξϕ3(x1,y2,1)] · ··×
×[ϕ1(x1,yn,1)−ξϕ3(x1,yn,1)]=G1(x1,ξ)[
ϕ2(x1,y1,1)−ηϕ3(x1,y1,1) ]×
×[ϕ2(x1,y2,1)−ηϕ3(x1,y2,1)]· ··×
× [ϕ2(x1,yn,1)−ηϕ3(x1,yn,1)] =G2(x1,η),
so sindG1 undG2 rationale Funktionen vonx1, und ξ resp. η, da sie beide symmetrische
Funktionen von y1, y2, . .. , yn sind, welche durch die Koeffizienten von y in der Gleichung
F(x1,y,1) = 0 ersetzt werden ko¨nnen.
Giebt man nun dem ξ und η solche Werte, dass z. B.
ϕ1(x1,yk,1)−ξϕ3(x1,yk,1) = 0
ϕ2(x1,yk,1)−ηϕ3(x1,yk,1) = 0
ist, d. h. dass je eine Kurve der Bu¨schel
ϕ1(x,y,1)−ξϕ3(x,y,1) = 0
ϕ2(x,y,1)−ηϕ3(x,y,1) = 0
durch den Punkt mit den Koordinaten (x1,yk) geht, so wird jede dieser Kurven F = 0
noch in zwei anderen Punkten schneiden, die aber nicht auf der Geraden x= x1 liegen
werden, d. h. die Gleichungen
G1(x1,ξ) = 0
G2(x1,η) = 0
haben fu¨r die betrachteten Werte ξ und η nur die eine Wurzel x1 gemeinschaftlich, die
auch der GleichungF(x1,y,1) = 0 genu¨gt. Daher kann man
x1=R(ξ,η)
setzen, woR eine rationale Funktion von ξ,η und den Koeffizienten vonG1, G2 also auch
den Koeffizienten vonϕ1, ϕ2, ϕ3 undF ist. Ebenso folgt aber
y1=R1(ξ,η)
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher