Page - v - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

Inhaltsverzeichnis Einleitung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Darstellung der komplexen Gro¨ssen. . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Funktion einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Abbildung mittels einer Funktion einer komplexen Variablen . . . . 7 4. Beispiele fu¨r die Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Ein- und mehrdeutige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. Integrale komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7. Das geschlossene Integral um einen Punkt herum . . . . . . . . . 18 8. Das Randintegral ∫ f(z)dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9. Reihenentwicklung einer Funktion in der Umgebung einer Stetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10. Das Null- und Unendlichwerden der Funktionen . . . . . . . . . 25 11. Die rationale Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 12. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion. . . . . . . . . . 29 13. Das Randintegral ∫ d logf(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 14. Die Summe der logarithmischen Residua dru¨ckt sich durch ein Rand- integral aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 15. Der Logarithmus einer komplexen Gro¨sse . . . . . . . . . . . . 39 16. Bedingung, dass ∫z z0 R(z)dz eine rationale Funktion sei . . . . . . 42 I. Theil Doppeltperiodische Funktionen I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen. . . . . . . 44 1. Primitive Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2. Beschaffenheit der Perioden einer doppeltperiodischen Funktion. . . 45 3. Die doppeltperiodische Funktion nimmt alle ihre Werte in einem Pe- riodenparallelogramme an. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Andeutung des Weges, auf dem man zu doppeltperiodischen Funktio- nen gelangen kann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II. Theorie der Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . 48 5. Reihenentwicklung der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . 48 6. Die vier Jacobischen Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . 52 v