Page - 2 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

2 Einleitung. 1. Wenn die unabha¨ngige Variable x alle reellen Werte von−∞ bis +∞ durchla¨uft, sokannmanihrenWertvorratbildlichdurchdieeinfachunendlich vielen Punkte einer Geraden darstellen. Nehmen wir aber z= x+ iy (i=√−1)alsunabha¨ngigvera¨nderlicheGro¨sse, inwelcherxundy reelleGro¨ssen sind, so reichenwirzurDarstellungdieses zweifachunendlichenWertvorrates des z nicht mit den Punkten einer Geraden aus und gehen daher zu einem Gebilde, welches zweifach unendlich viele Punkte entha¨lt, zur Ebene u¨ber. Legen wir in der Ebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem fest, so ist jederPunktdurchseineKoordinatenxundybestimmt;umgekehrtbestimmt jeder Punkt einx und ein y. Durchlaufenx und y unabha¨ngig von einander alle reellen Zahlen von−∞ bis +∞, so werden die zugeho¨rigen Punkte alle Punkte der Ebene erscho¨pfen. Wir ordnen nun jedem Punkte der Ebene mit den Koordinaten x,y den Wert z=x+ iy zu und haben so das Wertgebiet der Variablen z auf die Punkte der Ebene eindeutig bezogen. Fig. 1. Wir wollen diese Ebene kurzweg die z- Ebene nennen und den Punkt mit den Ko- ordinaten (x,y) mit z bezeichnen. Wird 0z= %, z0x=ϕ gesetzt, so ist (Fig. 1) z=%(cosϕ+ isinϕ), wobei %= √ x2 +y2, tgϕ= y x ist. % heisst der Modul von z und soll auch durch |z|bezeichnet werden,ϕdie Amplitude von z. Setzt man g= log(cosϕ+ isinϕ), so ist dg dϕ = −sinϕ+ icosϕ cosϕ+ isinϕ = i g= iϕ+c= log(cosϕ+ isinϕ) und fu¨rϕ= 0 . . .c= 0. Daher ist cosϕ+ isinϕ= eiϕ und mithin z=%eiϕ. Diese drei Darstellungen der complexen Gro¨sse z=x+ iy=%(cosϕ+ isinϕ) =%eiϕ %= √ x2 +y2, tgϕ= y x