Page - 4 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

4 Einleitung. so ist Z= z1z2 =%1%2e i(ϕ1+ϕ2), d. h.Z hat die Amplitudeϕ1+ϕ2 und den Radiusvektor %1%2 =P, also ist %2 :P= 1 :%1, d. h. die Dreiecke (Fig. 3)Z0z2 und z101 sind a¨hnlich. Fig. 4. Fu¨r die Division ist Z= z1 z2 = %1 %2 ei(ϕ1−ϕ2) =Pei(ϕ1−ϕ2). Der Modul ist gleich dem Quotienten der Mo- dulen und die Amplitude ist gleich der Diffe- renz der Amplituden, also gleich dem Winkel z20z1 (Fig. 4); es ist also P= %1 %2 oderP : 1 =%1 :%2, d. h. das DreieckZO1 ist a¨hnlich dem Drei- ecke z20z1 was wieder die graphische Ausfu¨hrung der Division lehrt. Setzen wir Z= z1−z z2−z = %1e iψ1 %2eiψ2 = %1 %2 ei(ψ1−ψ2), so wissen wir, dass %1 und %2 die Strecken zz1 und zz2 sind, ψ1 und ψ2 aber die Neigungswinkel dieser Strecken gegen die positive x-Achse. Es ist alsoψ1−ψ2 der Winkel, welchen die Strecken mit einander bilden. Hieraus erkennt man, dass im Falle der Quotient z1−zz2−z reell sein soll,ψ1−ψ2 =κpi sein muss, woκ irgend eine ganze Zahl bedeutet, da dann z1−zz2−z = (−1)κ %1 %2 wird. Wenn aber ψ1 = ψ2 +κpi ist, dann mu¨ssen die Punkte z, z1, z2 in derselben Geraden liegen, da nur dann die Richtung zz1 und zz2 mit der x-Achse denselben Winkel bilden oder einen um 180o verschiedenen. Umgekehrt: Liegen drei Punkte z, z1, z2 in einer Geraden, so ist der Quotient z1−zz2−z der entsprechenden komplexen Gro¨ssen reell. 2. Nachdem wir so eine einfache geometrische Darstellung der complexen Variablen z erhalten haben, wollen wir zu den Funktionen dieser Variablen u¨bergehen. Wir definiren f(z) als Funktion von z, wenn df(z) dz von dz un- abha¨ngig ist. Da na¨mlich z=x+ iy ist, so wird w=f(z) =f(x+ iy)