Page - 11 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

11 Um die Art dieser Abbildung na¨her zu betrachten, sollen den Punkten z1, z2, z3 die Punktew1,w2,w3 entsprechen. Diese Festsetzung ko¨nnen wir in beliebiger Weise machen, da durch sie die drei willku¨rlichen Konstanten α :β :γ : δ festgelegt sind. Es ist na¨mlich δwz+γw−βz−α= 0, also fu¨r entsprechende Punkte δw1z1 +γw1−βz1−α= 0 δw2z2 +γw2−βz2−α= 0 δw3z3 +γw3−βz3−α= 0. Eliminirt man aus diesen vier Gleichungen δ, γ,−β,−α, so erha¨lt man in ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ wz, w, z, 1 w1z1,w1, z1,1 w2z2,w2, z2,1 w3z3,w3, z3,1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 die lineare Relation, welche zwischen je zwei entsprechenden Punktenw, z stattfindet. Durch eine einfache Reduktion kann man derselben die Form geben: ∣∣∣∣∣∣∣∣ z−z2 z−z3 w−w2 w−w3 z1−z2 z1−z3 w1−w2 w1−w3 ∣∣∣∣∣∣∣∣= z−z2 z−z3 ·w1−w2 w1−w3 − z1−z2 z1−z3 ·w−w2 w−w3 oder w−w2 w−w3 ·w1−w3 w1−w2 = z−w2 z−z3 · z1−z3 z1−z2 . Bezeichnet man den Quotienten z−w2z−z3 : z1−z2 z1−z3 als Doppelverha¨ltnis der vier Punkte z, z1, z2, z3 ∗) , so sagt die obige Gleichung aus, dass durch die lineare Beziehung der z-Ebene auf diew-Ebene das Doppelverha¨ltnis un- gea¨ndert bleibt. Wenn man in f(z) fu¨r z den Ausdruckw= α+βzγ+δz einsetzt, so sagt man, man habe z linear substituirt, und daher: Das Doppelverha¨ltnis von vier Punkten wird durch lineare Substitution nicht gea¨ndert. Sind z1, z2, z3 festgelegt, denenw1,w2,w3 entsprechen sollen, so giebt uns obige Gleichung den Punktw, welcher dem Punkte z entspricht. ∗) Mo¨bius, Crelle’sches Journal Bd. IV. S. 101 u. ff. — Wedekind, Math. Annal. Bd. IX. S. 209.