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Um die Art dieser Abbildung na¨her zu betrachten, sollen den Punkten
z1, z2, z3 die Punktew1,w2,w3 entsprechen. Diese Festsetzung ko¨nnen wir
in beliebiger Weise machen, da durch sie die drei willku¨rlichen Konstanten
α :β :γ : δ festgelegt sind. Es ist na¨mlich
δwz+γw−βz−α= 0,
also fu¨r entsprechende Punkte
δw1z1 +γw1−βz1−α= 0
δw2z2 +γw2−βz2−α= 0
δw3z3 +γw3−βz3−α= 0.
Eliminirt man aus diesen vier Gleichungen δ, γ,−β,−α, so erha¨lt man
in ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ wz, w, z, 1
w1z1,w1, z1,1
w2z2,w2, z2,1
w3z3,w3, z3,1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
die lineare Relation, welche zwischen je zwei entsprechenden Punktenw, z
stattfindet. Durch eine einfache Reduktion kann man derselben die Form
geben: ∣∣∣∣∣∣∣∣ z−z2
z−z3 w−w2
w−w3
z1−z2
z1−z3 w1−w2
w1−w3 ∣∣∣∣∣∣∣∣= z−z2
z−z3 ·w1−w2
w1−w3 − z1−z2
z1−z3 ·w−w2
w−w3
oder w−w2
w−w3 ·w1−w3
w1−w2 = z−w2
z−z3 · z1−z3
z1−z2 .
Bezeichnet man den Quotienten z−w2z−z3 : z1−z2
z1−z3 als Doppelverha¨ltnis der
vier Punkte z, z1, z2, z3 ∗) , so sagt die obige Gleichung aus, dass durch
die lineare Beziehung der z-Ebene auf diew-Ebene das Doppelverha¨ltnis un-
gea¨ndert bleibt.
Wenn man in f(z) fu¨r z den Ausdruckw= α+βzγ+δz einsetzt, so sagt man,
man habe z linear substituirt, und daher: Das Doppelverha¨ltnis von vier
Punkten wird durch lineare Substitution nicht gea¨ndert.
Sind z1, z2, z3 festgelegt, denenw1,w2,w3 entsprechen sollen, so giebt
uns obige Gleichung den Punktw, welcher dem Punkte z entspricht.
∗) Mo¨bius, Crelle’sches Journal Bd. IV. S. 101 u. ff. — Wedekind, Math. Annal.
Bd. IX. S. 209.
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher