Page - 13 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

13 fu¨r alle Lagen vonw ist, so ist w−w2 w−w3 = r r1 , d. h. der Punktw liegt mitw2w3 immer auf einer Geraden, auf welcher auch w1 liegt. Mit anderen Worten: Den Kreisen der z-Ebene, welche durch den Punkt z=−γδ gelten, entsprechen in derw-Ebene Gerade. Umgekehrt entsprechen den Geraden der z-Ebene, fu¨r die ja z−z2z−z3 sowohl als z1−z2z1−z3 reell ist, also auch z−z2 z−z3 · z1−z3 z1−z2 = w−w2 w−w3 ·w1−w3 w1−w2 reell wird, in derw-Ebene Kreise, welche alle durch den Punkt gehen, der dem Punkte z=∞ entspricht, d. h. durch den Punkt w= ( α+βz γ+δz ) z=∞ = β δ . Allen Kreisen und Geraden derw-Ebene werden auch Kreise der z-Ebene entsprechen, und den Kreisen, welche durch den Punktw= βδ gehen, ent- sprechen Gerade in der z-Ebene. Den Geraden derw-Ebene, welche durch den Punktw= βγ , entsprechen Gerade der z-Ebene, welche durch den Punkt z = −γδ gehen. Diese zwei Bu¨schel von Geraden sind die einzigen einander entsprechenden Geraden in der Verwandtschaft der beiden Ebenen. Die Beziehung, in der die Ebenen stehen, nennt man die Mo¨bius’sche Kreisverwandtschaft. Inw= α+βzγ+δz haben wir eine Funktion von z kennen gelernt, welche die z-Ebene ausnahmslos so auf diew-Ebene abbildet, dass Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen stattfindet. Dass eine derartige Abbildung mittels einer Funktion, fu¨r welche dwdz in einem Punkte null oder unendlich wird, nicht notwendig stattfindet, zeigen wir mittels der Funktion w= √ (1−z) = (1−z)12, in dem wir festsetzen, dassw= 1 fu¨r z= 0 ist und dass von z= 0 an z stetig fortgesetzt wird, wodurch auchw stetig sich a¨ndert. Nennen wir alle Punkte z, welche innerhalb eines Kreises liegen, der mit dem Radius % um den Punkt a geschlagen wird, die Umgebung des Punktes