Page - 14 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

14 Einleitung. a, so ko¨nnen wir sagen: Die Umgebung des Punktes z = 0 wird auf die Umgebung des Punktesw= 1 in den kleinsten Theilen a¨hnlich abgebildet, so lange %<1 ist. Denn fu¨r %<1 ist dw dz =−1 2 1√ 1−z stets endlich, da |z|= |%eiϕ|=%<1 ist. Fu¨r z= 1 sehen wir, wird dwdz =∞, also ist z= 1 gerade ein Ausnahms- punkt, den wir na¨her betrachten wollen. Wir setzen zu diesem Zwecke z= 1−%eiϕ, also w=% 1 2ei ϕ 2 . Fig. 8. Entspricht nun dem Punkteϕ= 0, z1 = 1−% der Punktw1 = % 1 2 so wird dem Punkte z0 = 1−%eiϕ der Punkt w0 = % 1 2ei ϕ 2 entsprechen, d. h. der Win- kelw10w0 (Fig. 8), den die Richtungen 0w1 und 0w0 in derw-Ebene bilden, ist nur halb so gross, als der Winkel, den die Richtungen 1z1 und 1z0 mit einan- der in der z-Ebene bilden. Hieraus folgt bereits, dass die Umgebung des Punktes z= 1 nicht in den klein- sten Theilen a¨hnlich auf die Umgebung des Punktes w = 0 abgebildet wird, sondern dass zwei Richtun- gen, die von z = 1 ausgehend einen Winkel ϕ mit einander bilden, in derw-Ebene zwei Richtungen von w= 0ausgehendentsprechen,welchemiteinanderden Winkel ϕ2 bilden. Wenn z nach einem Umlauf nach z1 zuru¨ckkehrt, alsoϕ= 2pi ist, wird w=% 1 2eipi=−%12, so istw1 nicht in seinen Anfangswert zuru¨ckgekehrt, sondern inw2, und erst wenn z noch einen Umlauf macht, ϕ = 4pi wird, so wird w = % 1 2 = w1 seinen Anfangswert erlangen. Es ist also gleichsam die doppelte Umgebung desPunktesz= 1aufdie einfacheUmgebungdesPunktesw= 0abgebildet. Es werden jedem Punkte z0 zwei Punktew0,w ′ 0 entsprechen, die, wie man sieht, diametral gegenu¨ber liegen in Bezug aufw= 0.