Page - 16 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

16 Einleitung. von (t′− t) oder (t′′− t) unabha¨ngig sein, also ist f(t′)−f(t) = (t′− t)ϕ(t) f(t′′)−f(t) = (t′′− t)ϕ(t), daher auch f(t′)−f(t′′) = (t′− t′′)ϕ(t), d. h. da (t′−t′′) unendlich klein ist, so sind f(t′) von f(t′′) in allen Punkten der beiden Wege, die einander benachbart liegen, unendlich wenig verschie- den, aber nicht gleich, da jaϕ(t) nicht { 0 ∞ sein kann. Im Punkte z1 mu¨ssen also die Werte der beiden Funktionen u¨bereinstimmen, weil t′ mit t′′ zu- sammenfa¨llt, oder: auf den benachbarten Wegen z0tz1 und z0t ′′z1 erlangtw denselben Wert w1. Da nun innerhalb der betrachteten Fla¨che A, die wir als Umgebung des Punktes z0 auffassten, dw dz nicht unendlich und nicht null werden kann, so wird durch stetige Aba¨nderung des Weges z0t ′′z1 in z0qz1 u¨berfu¨hrt werden ko¨nnen, ohne dass ein Punkt u¨berschritten wird, fu¨r den dw dz = { 0 ∞ ist, und da dannw in z1 immer den Wertw1 annimmt, so ersehen wir, dassw, unabha¨ngig von der durchlaufenen Wertereihe des z, in z1 den Wertw1 annimmt. Man sagt in diesem Fallew ist eine eindeutige Funktion von z innerhalb A zum Unterschiede davon, wennw andere Werte annimmt, sobald z von z0 nach z1 verschiedene Wege beschreibt; w heisst dann eine mehrdeutige Funktion von z. Fig. 10. So ist w = (z− a)n, wenn n eine ganze Zahl ist, eine eindeutige Funktion in der ganzen Ebene. Jedenfalls ist sie eindeutig, wenn z von a oder∞ verschieden ist. Fu¨r die Umgebung des Punktes a setze man z−a=%eiϕ, w=%neiϕn, woraus ersichtlich, dass, wennϕ sich um 2pi a¨ndert, z also einen geschlossenen Weg um abeschreibt, w=%neiϕn ·e2piin=%neiϕn wiederseinenurspru¨nglichenWertannimmt.Hieraus folgtdannohneweiters, dassw fu¨r einen Wert z unabha¨ngig von der Wertereihe, welche z durchla¨uft umzuz1 zugelangen immerdenselbenWertannimmt. Istz inderUmgebung