Page - 19 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

19 Da nun r und p einander unendlich nahe ru¨cken und schliesslich zusammen- fallensollen,f(z) eineeindeutige Funktionvonz ist, also inpdenselbenWert annimmt, nachdem z den Weg pqrp beschrieben hat als vordem, so wird W(ap) =−W(pa) =−W(ra), wenn rmit p zusammenfa¨llt. Also ist W(at′z1)+W(z1ta)+W(pqrp) = 0. W(pqrp) heisst das geschlossene Integral um den Punkt bherum, und obige Gleichung sagt in der Form W(atz1t ′a) =W(pqrp) aus: Das geschlossene Integral um einen Punkt b herum ist unabha¨ngig von dem Wege, welcher b umgiebt, so lange dieser keinen weiteren Ausnahms- punkt umschliesst. Aus der ersten Form der Gleichung ist ersichtlich, dass W(at′z1)−W(atz1) =−W(pqrp) ist, dass also die Integrale, von a nach z1 genommen, la¨ngs zweier Wege, die zusammengenommen den Punkt bumschliessen, nur dann gleichen Wert besitzen, wenn W(pqrp) = 0 ist.WirwollendasgeschlosseneIntegral,umdenPunktbderartiggenommen, dass der Punkt b links von der Richtung des Integrationsweges bleibt, mit∫ _ b f(z)dz bezeichnen und erhalten also∫ atz1 f(z)dz− ∫ at′z1 f(z)dz= ∫ _ b f(z)dz, wenn f(z) eine eindeutige Funktion ist und die Integrationswege atz1, at ′z1 nur den Ausnahmspunkt b umschliessen, ohne die Kontur vonA zu u¨ber- schreiten, bmuss von atzl links liegen.∫ _ b f(z)dz ist von dem Integrationswege, der bumgiebt, unabha¨ngig. Wir setzen also diesen als kleinen Kreis um b herum mit dem Radius % voraus und wenn z−b=%eiϕ, z= b+%eiϕ