Page - 20 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

20 Einleitung. gesetzt wird, so a¨ndert sich nurϕ von 0 bis 2pi, also ist∫ _ b f(z)dz= i% ∫ 2pi 0 f(b+%eiϕ)%eiϕdϕ. Es sei nun f(b) = 0, dann wird, wenn % klein ist,∣∣∣f(b+%eiϕ)∣∣∣= ε sein, wo ε fu¨r %= 0 null wird. Nun ist f(b+%eiϕ) = εeiψ, woψ eine gewisse reelle Funktion vonϕ und % ist, also wird∫ _ b f(z)dz= i% ∫ 2pi 0 εei(ψ+ϕ) = i% ∫ 2pi 0 ε ( cos(ϕ+ψ)+ isin(ϕ+ψ) ) dϕ nun hat das Integral jedenfalls einen endlichen Wert, da der Integrand nicht unendlich werden kann, also ist, wenn % sich der Null na¨hert, der Wert des Integrales unendlich klein, und da dieser Wert unabha¨ngig ist von der Form des Integrationsweges, so ist ∫ _ b f(z)dz= 0, sobald f(b) = 0 ist. Wu¨rde aber f(b) =∞werden, so ist nicht mehr∫ f(b+%eiϕ)eiϕdϕ nothwendig endlich und i% ∫ f(b+%eiϕ)eiϕdϕ nicht nothwendig null. Ist alsof(z) eine eindeutige Funktion von z innerhalb der einfachen Kon- turA, so ist ∫z z0 f(z) unabha¨ngig vom Integrationswege, sobaldf(z) nicht∞ wird innerhalbA.