Page - 23 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

23 d. h. der Wert der eindeutigen Funktion F in einem Punkte innerhalb K la¨sst sich ausdru¨cken durch ein Integral genommen la¨ngs der LinieK. Diese darf selbstversta¨ndlich durch keinen Punkt gehen, fu¨r denF(z) =∞wird, ist im Uebrigen ho¨chst willku¨rlich, da das Integral vom Integrationswege unabha¨ngig bleibt, so lange kein Unstetigkeitspunkt u¨berschritten wird. Wir transformiren das Integral. Da z aufK liegt, so ist |z−a|> |t−a| , setzt man daher t−a z−a=%e iϕ, so ist %<1. Da nun 1+%+%2 + · ··+%n= 1−% n 1−% ist, so folgt fu¨rn=∞, %<1 1+%+%2 + · ··= 1 1−%. Da diese Reihe convergirt, so convergirt auch die Reihe R1 = 1+%cosϕ+% 2cos2ϕ+%3cos3ϕ+ · ·· und R2 = %sinϕ+% 2sin2ϕ+%3sin3ϕ+ · ·· , mithin hat auch R1 + iR2 = 1+%e iϕ+(%eiϕ)2 +(%eiϕ)3 + · ·· einen unendlichen Wert, den man ohne weiteres als 1 1−%eiϕ erkennt. Daher ist 1+ t−a z−a+ ( t−a z−a )2 + ( t−a z−a )3 + · ··= 1 1− t−az−a = z−a z− t